几种常微分方程解法中的数学化归思想分析

贾丽丽

【摘 要】化归思想作为数学解题中常用的思想方法之一，在常微分方程解法中多有应用。化归思想可以有效帮助学生更好地学习常微分方程，同时能够培养学生的数学思维和应用能力，所以教师应该在日常数学教学中有意识地引导学生树立化归思想意识。本文主要介绍了化归思想在一阶常微分方程、高阶常微分方程以及线性常微分方程组求解中的应用。

【关键词】常微分方程 化归思想 教学

常微分方程最早出现在17世纪，其理论性和应用性都很强。历史上的著名物理学家牛顿，就是通过常微分方程证明了地球是沿着椭圆的轨道绕太阳运动的。现如今，常微分方程更是被广泛地应用在了航天、医药、信息、生物、军事等诸多领域中。常微分方程的教学过程中，可以采用多种数学思想方法，帮助学生深化理解该知识点的核心内容，其中，化归思想就是最常用的一种。化归思想指的就是将需要解决的复杂问题转化归结为相对简单或是已经解决了的问题。下面介绍几种采用化归思想解决的常微分方程。

一、一阶常微分方程

变量分离方程以及恰当方程是一阶常微分方程中最基础的方程类型，其他类型如伯努利方程、线性方程、齐次方程等，都可以通过进行变量替换的方式或是采取积分因子化的方式转变为这两种基础的方程类型。其中，数学转化思想的应用正体现了化归思想。

例1 求解常微分方程=。

解析：观察等式右侧的分子分母，分别提出公因式移到等式右侧，右侧分子分母再凑微分，便可以进行变量替换，化简方程。该题在求解过程中需要运用三次变量替换，最后转变为变量分离方程，化归成能够求解的方程。

二、高阶常微分方程

针对高阶常系数的齐次线性方程来说，可以通过特征值法求解，首先求得基本的解组，可以有效降减低积分运算的复杂程度，而高阶非齐次线性方程首先可转化为求对应齐次线性方程通解，再采用待定系数法求解。另外，幂级数解法与待定系数法的思想比较相似，也是简化积分运算的化归思想方法之一。

例2 求解微分方程x″′-x=cost。

解析：首先，将非齐次方程化归为可求解的方程，即求该方程对应的齐次方程的通解，再由f（t）=cost，可设，原方程的应取特解为x=Acost+Bsint，进而找出方程特解，最后求出该方程通解。

三、线性常微分方程组

要想对非齐次线性常微分方程组求解，其中的关键点在于怎样求出相应的基解矩阵。只要求出基解矩阵，那么方程组所有的解都可以通过该矩阵表示出来，而非齐次线性常微分方程组的解通过积分的方式，利用基解矩阵表示出来。由常微分齐次线性方程组求得的系数矩阵是常数矩阵，那么基解矩阵便可以通过求出的系数矩阵求解，求解方法通常可以采用拉普拉斯变换法或是特征向量法。这样一来，对于含有常系数的线性微分方程组求解问题，便可以顺利地转化成代数问题，其中化归思想得到了很好的体现。

例3 求线性方程组x′=Ax+f（t），其解可以表为φ（t），且已知φ（0），A，f（t）。

解析：由题可知，这是一个非齐次线性方程组，首先要先求出对应齐次的基解矩阵，进而求出相应的解。

解：由x′=Ax，可以求出基解矩阵φ（t）=[φ1（t），φ2（t）]，另，齐次线性方程组的基解矩阵应满足φ（t）=exp（At），再利用非齐

次方程组通解公式φT（t）=exp（tA）φη+即可求得。

四、结语

化归思想在数学教学过程中是最重要的数学思想方法之一。虽然在解决不同的数学问题时，化归思想的体现并不完全相同，但是综合分析化归思想的基本原则都是将复杂转化为简单、未知转化为已知、困难转化为容易的一种思想方法。化归思想在微积分方程中得到了有效的应用，解决了很多难题，例如，高斯公式证明，可以一步步转化为斯托克斯公式、格林公式、牛顿——莱布尼兹公式的证明。学生在学习常微分方程的过程中运用化归思想可以更好地理解学习知识点，体会数学问题的本质，领悟更好的学习方法，在日后的数学学习和实际工作生活中形成化归思想意识，勇于面对并解决新问题。所以，数学教师在日常的教学活动中，应该有意识地培养学生采用化归思想解决数学问题，进而提升学生的综合素质。

【参考文献】

[1]余惠霖.几种常微分方程解法中的数学化归思想[J].柳州师专学报，2011（02）.

[2]姬利娜，郑群珍.化归思想在常微分方程教学中的应用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2012（01）.

[3]黄雪燕.常微分方程的化归思想[J].长春师范学院学报，2007（08）.