高中数学中含参问题的解题初探

喻金武

摘 要：近几年的高考中，含参问题出现的频率越来越高，其涉及的知识点较多，题目复杂多样，它既是高考考查的热点，也是高中数学教学的难点.以具体的例子介绍一些常见含参问题的求解方法.

关键词：参数；变元；分类；代换

含参问题一般是把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合在一起，综合性强、解法灵活等特点成为近几年高考及高中数学联赛的热点之一.含参问题的解题方法是多样的，涉及各种数学思想和方法，下面通过例子来展示各种解题方法.

一、变量易位

变量易位是含参问题的一种重要解题策略.含参问题，一般含有两个或多个变元，我们在解题过程中可视其中一个为主元，其余都看作参数，可将多元问题化为一元问题，常常可以降低思维难度.变量易位可分为两种：

1.主次元互换

一般的，把已知范围的变量看作自变量，另一个看作常量.

例1.对于0≤p≤4的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围.

分析：解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实数根分布原理，这是比较复杂的.若把x与p互换一下角色，即将p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为关于p的一次函数在[0，4]内大于0恒成立的问题.

解：设f（p）=（x-1）p+x2-4x+3

当x=1时，不满足题意，

当0≤p≤4时，f（p）>0恒成立，只要f（0）>0且f（4）>0

即x2-4x+3>0且x2-1>0解得x>3或x<-1.

2.多元问题确定主元

例2.对任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值总大于0，求x的取值范围.

解析：f（x）的表达式是以x为主元的，若按此思路做下去，就会被骗了，若以a为主元，则发现g（a）=f（x）=（x-2）a+x2-4x+4是以a为自变量的一次函数.只要同时满足g（1）>0及g（-1）>0即可，而

g（1）=（x-2）+x2-4x+4=x2-3x+2>0，g（-1）=（x-2）（-1）+x2-4x+4=x2-5x+6>0即x>3或x<1.

二、分段讨论

合理分段讨论是处理含参问题的基本思路，含参问题的字母取值范围的求法通常需要用分段讨论的方法来解决.

1.异元分类

例3.解不等式（log3x）2+（k+）x+1<0.

解：令log3x=t，则原方程可化为t2-（k+）t+1<0，即（t-k）（t-）<0，

当k>即k>1或-1

当k=，即k=k±1时，t∈？覫；

当k<，即k<-1或0

故原不等式的解集为：当k∈（-1，0）∪（1，+∝）时，x∈（，3k），当k∈（-1，1）时，x∈？覫

2.同元分类

例4.设logx（2x+1）

解：根据对数函数的单调性对x进行分类：

当03x>1解得x∈（，），当x>1时，可得x>1且2x2+1<3x<1，解得x∈？覫，

综上所述，x的取值范围是（，）.

3.转变视角

利用等价变形、函数奇偶性及公式的合理选用，变换视角去

解题.

例5.设f（x）是偶函数，x∈[-2，2]，且x∈[0，2]时，f（x）为减函数，解不等式f（1-a）

解：因为f（x）是偶函数，则有f（-x）=f（x）=f（x）

从而不等式f（1-a）

又x∈[0，2]时，f（x）为减函数，所以1-a>a，-2≤1-a≤2，-2≤a≤2，解得-1≤a≤.

故原不等式的解集为{a？誆-1≤a≤}.

4.数形结合

有些问题，仅限于数方面的考慮，在解决问题时，过程较为繁琐，若既能分析数式特征，又能揭示几何意义，巧妙结合，则更有利于问题的解决.

例6.设关于x的方程lg（ax-1）-lg（x-3）=1有解，求实数a的取值范围.

解：原方程可化为：lg（ax-1）=lg10（x-3）从而ax-1=10（x-3）（x>3）

设y1=ax-1，y2=10（x-3）（x>3），其图象分别为l1，l2，

如图可知：当

总之，对于含参问题，因其覆盖的知识点多，方法多，应充分运用到各种思维策略和方法.

参考文献：

[1]苏龙.谈主元思想对参数问题的解题帮助[J].福建中学数学，2008（11）：35-37.

[2]曾安雄.避免分类讨论简化含参问题[J].解题技法，2006（3）：24-27.

编辑 张珍珍