抽象函数常见题型解法

刘彦军

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大，解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通過局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹。另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

一、定义域问题

多为简单函数与复合函数的定义域互求。分两大类：

1.已知的定义域，求的定义域

其解法是：若的定义域为，则在中，，从中解得的取值范围即为的定义域。

2.已知的定义域，求的定义域

其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域，也就是说的值域就是的定义域。

例1. 已知函数的定义域为，求的定义域.

分析：该函数是由和构成的复合函数，其中是自变量，是中间变量，由于与是同一个函数，因此这里是已知，即，求的取值范围.

解：的定义域为，，.

故函数的定义域为.

例2.若的定义域为，求的定义域.

解：由的定义域为，则必有解得.

所以函数的定义域为.

二、解析式问题

一般使用替代法。如果把x和-x分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，使一个变量在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

例3. 已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=，

求f（x），g（x）的表达式.

三、单调性问题

一般采用赋值法，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。直接利用函数单调性的定义证明，进一步解决不等式问题。

例4. 设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。

证明：在中取，得

若，令，则，与矛盾

所以，即有

当时，;当时，

而

所以

又当时，

所以对任意，恒有

设，则

所以

所以在R上为增函数。

四、奇偶性问题

抽象函数的奇偶性的判断需利用函数奇偶性的定义，找准方向，巧妙赋值，合理，灵活地变形配凑，找出与的关系。

例5. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。

解：取得：，所以

又取得：，所以

再取则，即

因为为非零函数，所以为偶函数。

五、周期性问题

判断一个函数是否为周期函数;一是根据定义，二是记住一些重要的结论：如果函数对定义域中任意满足或等，则是周期函数，是一个周期等等，根据这些条件可以快速获得周期。

例6. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-2）=- f（x），给出下列四个结论：

①f（2）=0;

②f（x）是以4为周期的函数;

③f（x）的图像关于直线x=2对称;

④f（x+2）=f（- x）

其中所有正确命题的序号是___________。

解析1：（1）因为y= f（x）（x∈R）是奇函数，所以f（-x）=- f（x）

令x=0，得f（-0）=-f（0）

所以f（0）=0

又已知f（x-2）=- f（x）

令x=2，得f（0）=- f（2）

所以f（2）=- f（0）=0

故①成立。

（2）因为f（x-2）=- f（x），所以

由x-（x-4）=4（两自变量相减得常数）

所以f（x）是以4为周期的周期函数。

故②成立。

（3）由f（x+2）= f（-x）得：（x+2）+（-x）=2（两自变量相加得常数）

所以f（x）的图像关于直线x=1对称。而不是关于直线x=2对称。

故③是错误的。

（4）由（2）知，f（x）应满足f（x+2）= f（x-2）

而f（x-2）=-f（x）

所以f（x+2）= -f（x）= f（-x）

故④成立。

综上所述，应填①②④。