例谈挖掘教材例习题

于琼

【摘要】教材例习题历来是高考题题基的来源，许多高考题是由教材例习题加工整合而成的。因此我们在实际教学中必须重视教材的例习题，深入挖掘教材是我们教学和备考应具备的能力。下面本人仅就人教B版必修2《圆的一般方程》一节中的例题3（P93）和必修五椭圆和抛物线两节节的课后习题为例加以探究，以达抛砖引玉之目的。

【关键词】重视教材  挖掘教材  发散思维  求知欲和探索欲

【中图分类号】G634                             【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2015）05-0241-01

教材例习题历来是高考题题基的来源，许多高考题是由教材例习题加工整合而成的。因此我们在实际教学中必须重视教材的例习题，深入挖掘教材是我们教学和备考应具备的能力。下面本人仅就人教B版必修2《圆的一般方程》一节中的例题3（P93）和必修五椭圆与抛物线两节的课后习题为例加以探究，以达抛砖引玉之目的。

题目：已知曲线是与两定点O（0，0），A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求这个曲线方程，并画出曲线。

解：在给定的坐标系中，设M（x，y）是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是：，由两点之间的距离公式，上式用坐标表示为，两边平方并化简得曲线方程x2+y2+2x-3=0，即 （x+1）2+y2=4，所以所求曲线是圆心为C（-1，0），半径为2的圆。作图（略）。

分析：本题典型性强，体现了解析几何中坐标法求动点轨迹方程，即建系、设点、列式、化简、证明。验证的基本步骤又考查了前面刚学过的圆的标准方程和一般方程及坐标平面内两点之间距离运算公式，同时也激发了学生探究欲。曲线究竟是何曲线？我们是否认识？教师可以引导学生去追根寻底：既然本题让你画出曲线，结论应该是我们已熟知的曲线，如：直线、圆、抛物线的等等。而通过师生互动，交流合作，动手运作，结果令学生欣喜，原来如此！同时也为以后学习椭圆和双曲线方程做了铺垫。

教师可接着让学生思考：如果将距离之比改为或者2，其结果又是什么曲线呢？学生分两组接着做，最后得出结论都是圆。同时学生们洋溢着兴奋的笑脸。

教师再问：通过上述学习，你们有什么启发和感悟？请研讨，并说出你们的想法。

我在实际教学中体验到了学生的结论：平面内与两定点距离之比等于常数的点的轨迹（或者曲线）是圆，其中常数为不等于1的正数。趁热打铁，我给出下列课后思考题：

已知曲线是与两定点F1（-c，0），F2（c，0）（其中c>0）的距离之比为常数t（t≠0）的点的轨迹，求这个曲线方程，并指出是何曲线？第二天我得到了一些学生的答案：

解：设曲线上任一点M（x，y），由已知得，，

平方并化简得：

可验证它表示以为圆心，半径  的圆。

再如：高中课本中必修五中一习题：经过抛物线y2=2px的焦点F，作一条直线垂直于它们的对称轴和抛物线相交于pl、p2两点，线段plp2叫做抛物线的通径，求通径plp2的长。

通过计算可得通径plp2的长为2P（解法略）稍一引申，这两点纵坐标之积yly2等于什么？容易得yly2=-p2，再围绕这一中心课题作进一步研究

改编1，与对称轴不垂直的焦点弦的两端的纵坐标之和等于什么？

其结论就是课本题目：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两交点的纵坐标为yl、y2，求证：yly2=-p2.它是抛物线焦点弦的一个性质。

改编2，过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于一点M，求证直线MQ平行于抛物线的对称轴。这是课本第32页第13题，它是应用上述性质进行解题的实例。

改编3，问“yly2=-p2有什么几何意义？”经过作图，分析可证过抛物线的焦点弦的两端作准线的垂线，两垂足与焦点的连线互相垂直，这实际上是抛物线焦点弦的又一性质

鉴于教材中的绝大部分例习题，条件完备、答案固定的特点，教师备课时有必要根据教学将部分习题改编成“开放题”。

再如必修五教材第112页一道题，在椭圆 上求一点使它与两个焦点的连线互相垂直。

隐去结论改编成“椭圆 上是否存在一点，它与两个焦点连线互相垂直？若存在求出该点、若不存在说明理由”即成为一道探究题。接着再将条件进行转换，改编为：“是否对任意椭圆都存在椭圆上一点与两焦点的连线互相垂直？”即成为一道具有开放型习题。

通过这样的挖掘，为学生才智的发挥和创新提供了契机。具有较强的探索性和针对性，激发了学生求知欲和成就感。

通过上面两个例子的阐述，使学生提高了对数学典型题目探究能力，并激发了求知欲和探索欲。培养了一题多变、举一反三、触类旁通的研究数学问题思维方式和良好习惯，对克服题海战术是非常有益的，因此在我们实践数学中应加以提倡。由于我们的学生的时间和精力是有限的，所以在有限的时间尽量取得最大的成效：教师应引导学生养成对重点知识、重点题目，尤其是教材例习题深入挖掘、联系、变形的能力，培养发散思维意识，发挥典型题目的最大功效。举一反三，甚至找到一类问题的处理方法，同时派生出一些重要性质，进一步加深对知识的理解和巩固，提高我们的数学修养。

最后，祝各位同仁和学生们成功。