函数图象变换

吴春平

【摘要】函数图像、图象变换、及函数性质是整个高中数学的重点和难点，我们对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的，利用函数图像及其变换解题可以起到化繁为简、化难为易的作用，而且高考考试大纲中明确要求：学生要会运用函数图像理解和研究函数的性质。因此，考生要掌握绘制函数图像的一般方法，掌握函数图像变化的一般规律，能利用函数的图像研究函数的性质。

【关键词】函数  图像  变换

【中图分类号】G623.5                           【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2015）05-0188-03

很多教师在归纳函数图象变换时，把函数图象变换中的平移变换归纳为：左加右减，上加下减。这对简单的平移变换没有问题，但如遇到下面这个问题：“如何把函数y=f（2x）的图像平移得到函数y=f（2x+1）的图像？”，往往学生会回答：“把函数y=f（2x）的图像向左平移1个单位就得到函数y=f（2x+1）的图像”，这里平移的方向对了，但平移的单位是不对的，正确的应该是平移个单位。之所以会出现这样的错误，是因为平移变换的规律“左加右减，上加下减”只说明了平移方向，没有说明平移几个单位，没有抓住变换的实质。函数图象变换的实质就是“替换”，每一步变换只要考虑把原式中的x、y分别替换成什么。具体的规律如下：

一、平移变换

①把原式中的小x替换成x+a（其中a>0），表示函数图像沿x轴负方向平移 个单位即向左平移a个单位;

②把原式中的x替换成x-a（其中a>0），表示函数图像沿 x轴正方向平移 个单位即向右平移a个单位;

③把原式中的y替换成y+a（其中a>0），表示函数图像沿y 轴负方向平移a个单位即向下平移a个单位;

④把原式中的y替换成y-a（其中a>0），表示函数图像沿y轴正方向平移a个单位即向上平移a个单位;

这里的规律是：替换后的表达式x+a、y+a中是x、y加上正数a表示向负方向平移，替换后的表达式x-a、y-a中是x、y加上负数-a（其中a>0）表示向正方向平移。其要点是：加上正数向负方向平移，加上负数向正方向平移。为了便于记忆，我们可以把平移变换律归纳为四个字“正负相反”。

二、伸缩变换

①把原式中的x替换成ωx，如果ω>1，表示把函数图像的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）;

②把原式中的x替换成ωx，如果0<ω<1，表示把函数图像的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）;

③把原式中的y替换成ωy，如果ω>1，表示把函数图像的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变）;

④把原式中的y替换成ωy，如果0<ω<1，表示把函数图像的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）;

这里的规律是：x替换成ωx、y替换成ωy后，x、y的系数都从1变成了ω，如果ω>1，即系数变大了，表示相应的坐标缩小为原来的;如果0<ω<1，即系数变小了，表示相应的坐标伸长为原来的倍。其要点是：系数变大相应的坐标是缩小，系数变小相应的坐标是伸长。为了便于记忆，我们可以把伸缩变换规律归纳为四个字“大小相反”。

为了便于理解上述规律，下面举例说明。（为了便于说明，下文中的符号用到的“”，其中→表示替换，如x→x+1就是表示x替换成x+1;其中符号表示推出;其中文字“右移1个单位”表示原图像向右平移1个单位得到新图像，其余的符号类似。）

1.从简单表达式到复杂表达式

问题1：如何由y=f（x）的图象变换得到y=3f（2x-1）+2的图像？

思路1：将其变换方法分四步，第一步由y=f（x）变换得到y=f（x-1），第二步由y=f（x-1）变换得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）变换得到y=3f（2x-1），第四步由y=3f（2x-1）变换得到y=3f（2x-1）+2，可以将变换方法直观表示如下：

其完整的变换方法可表述为：先把y=f（x）的图像向右平移1个单位得到y=f（x-1）的图像，再把y=f（x-1）的图像横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到y=f（2x-1）的图像，再把y=f（2x-1）的图像纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变）得到y=3f（2x-1）的图像，最后把y=3f（2x-1）的图像向上平移2个单位得到y=3f（2x-1）+2的图像。

思路2：将其变换方法分四步，第一步由y=f（x）变换得到y=f（2x），第二步由y=f（2x）变换得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）变换得到，第四步由变换得到y=3f（2x-1）+2，可以将变换方法直观表示如下：

其完整的变换方法可以表述为：先把y=f（x）的图像横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到y=f（2x）的图像，再把y=f（2x）的图像向右平移单位得到y=f（2x-1）的图像，再把y=f（2x-1）的图像向上平移个单位得到的图像，最后把的图像纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变）得到y=3f（2x-1）+2的图像。

思路3：将其变换方法分五步，第一步由y=f（x）变换得到y=f（2x），第二步由y=f（2x）变换得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）变换得到y=f（2x-1）+2，第四步由y=f（2x-1）+2变换得到y=3f（2x-1）+6，第五步由y=3f（2x-1）+6变换得到y=3f（2x-1）+2，可以将变换方法直观表示如下：

其完整的变换方法可以表述为：先把y=f（x）的图像横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到y=f（2x）的图像，再把y=f（2x）的图像向右平移单位得到y=f（2x-1）的图像，再把y=f（2x-1）的图像向上平移2个单位得到y=f（2x-1）+2的图像，再把y=f（2x-1）+2的图像纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变）得到y=3f（2x-1）+6的图像，最后把y=3f（2x-1）+6的图像向下平移4个单位得到y=3f（2x-1）+2的图像。

显然，思路3的变换方法比较麻烦，思路3的第四步是由y=f（2x-1）+2变换得到y=3f（2x-1）+6，能否由y=f（2x-1）+2直接变换得到y=3f（2x-1）+2呢？如果可行，那就不需要第五步了。答案是否定的。因为每一步的变换都是考虑把原式中的x、y替换成什么，所以要由y=f（2x-1）+2变换得到y=3f（2x-1）+2，必须使f（2x-1）的系数变为3，那就必须把y=f（2x-1）+2中的y用y 替换，这样替换后的表达式为y=f（2x-1）+2，两边同乘3，得到的表达式是y=3f（2x-1）+6，而不是y=3f（2x-1）+2。

以上3种思路比较典型，还有其他的变换思路，这里不一一罗列。

比较以上3种变换思路，思路1较为简单，因此由简单表达式到复杂表达式的变换比较简捷的思路为：横坐标的变换是“先平移再伸缩”，纵坐标的变换是“先伸缩再平移”。

2.从复杂表达式到简单表达式

问题2：如何由y=4f（2x+1）-3的图象变换得到y=f（x）的图像？

思路1：将其变换方法分四步，第一步由y=4f（2x+1）-3变换得到y=4f（2x+1），第二步由y=4f（2x+1）变换得到y=f（2x+1），第三步由y=f（2x+1）变换得到y=f（x+1），第四步由y=f（x+1）变换得到y=f（x），可以将变换方法直观表示如下：

其完整的变换方法可表述为：先把y=4f（2x+1）-3的图像向上平移3个单位得到y=4f（2x+1）的图像，再把y=4f（2x+1）的图像纵坐标缩小为原来的（横坐标不变）得到y=f（2x+1）的图像，再把y=f（2x+1）的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=f（x+1）的图像，最后把y=f（x+1）的图像向右平移1个单位得到y=f（x）的图像。

思路2：将其变换方法分四步，第一步由y=4f（2x+1）-3变换得到y=f（2x+1）-，第二步由y=f（2x+1）-变换得到y=f（2x+1），第三步由y=f（2x+1）变换得到y=f（x+1），第四步由y=f（x+1）变换得到y=f（x），可以将变换方法直观表示如下：

其完整的变换方法可表述为：先把y=4f（2x+1）-3的图像的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变）得到y=f（2x+1）-的图像，再把y=f（2x+1）-的图像向上平移个单位得到y=f（2x+1）的图像，再把y=f（2x+1）的图像向右平移个单位得到y=f（2x）的图像，最后把y=f（2x）的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到y=f（x）的图像。

问题2还有其他的变换思路，这里不一一罗列。

从复杂表达式到简单表达式的变换比较简捷的思路为：纵坐标的变换是“先平移再伸缩”，横坐标的变换是“先伸缩再平移”。

三、对称变换

①将y=f（x）中的x替换成-x得到y=f（-x），则y=f（x）的图像与y=f（-x）的图像关于y轴对称;②将y=f（x）中的y替换成-y得到y=-f（x），则y=f（x）的图像与y=-f（x）的图像关于x轴对称;③将y=f（x）中的x替换成-x，同时把y替换成-y得到y=-f（-x），则y=f（x）的图像与y=-f（-x）的图象关于y轴对称;④将y=f（x）中的x替换成y同时将y=f（x）中的y替换成x得到x=f（y），则y=f（x）的图象与x=f（y）的图象关于直线y=x对称。