三角函数及解三角形在高考中的地位和应对策略

江建忠

【摘要】《考试说明》中提到解数学问题常用的数学思想方法，应在夯实“双基”的同时，认识各种思想或方法的适应性，抽象概括出解决问题的有效地数学思想与方法，这样，可以提高解决问题的能力。运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，是中学数学中要求培养的重要能力。对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式，要求学生能理解对问题陈述的材料，并对所提供的消息资料进行归纳、整理和分析，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题，并加以验证；能用数学语言正确地表述和说明。

【关键词】三角函数 解三角形 高考地位 应对策略

1、近三年福建省、新课标全国卷、新课标全国卷I的考情

年份

考题

考点 文理科 2014 2013 2012

三角函数图象与性质、诱导公式、同角三角函数基本关系 理科 福建第16题

新课标全国卷I第6题 福建第20题 新课标全国卷

第9题

文科 福建第7、18题

新课标全国卷I第2题 福建第9题

新课标全国卷I第9题 福建第8题

新课标全国卷

第9题

和差公式、倍角公式、三角恒等变换及其综合应用 理科 新课标全国卷I第8题 新课标全国卷I第15题 福建第17题

文科 新课标全国卷

第6、16题 福建第20题

正、余弦定理及面积公式的应用 理科 福建第12题

新课标全国卷I第16题 新课标全国卷

第17题

文科 福建第14题 新课标全国卷I第10题 福建第13题

新课标全国卷

第17题

正、余弦定理的综合应用 理科 福建第13题

新课标全国卷I第17题

文科 新课标全国卷I第16题

2、《考试大纲》要求：

三角函数：（1）任意角的概念、弧度制：①了解任意角的概念，②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；（2）三角函数：①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，②能利用单位圆则的三角函数线推导出 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 的图象，了解三角函数的周期性，③理解正弦函数、余弦函数在区间 上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 轴的交点等），理解正切函数在区间 内的单调性，④理解同角三角函数的基本关系式： ，⑤了解函数 的物理意义，能画出 的图象，了解 对函数图象变化的影响，⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

三角恒等变换：（1）和与差的三角函数公式：①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式，③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，（2）简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式）。

解三角形：（1）正弦定理和余弦定理：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）应用：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

3、命题分析：

综合近3年的福建省、新课标全国卷、新课标全国卷I高考试题，发现高考命题在本专题呈现以下规律：

（1）从考题题型来看：一般一道选择题或填空题，再加一道解答题；从考查分值来看，大约17分左右。

（2）从考查知识来看：主要考查三角函数的定义、图象与性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、和差角公式、倍角公式、辅助角公式以及正余弦定理，突出对转化与化归思想、数形结合思想、数学建模思想以及应用能力的考查。

（3）从命题思路上主要有：①利用三角恒等变换化简与求值；②函数 的图象与性质及图象变换的考查；③三角函数的图象、性质及三角恒等变换与平面向量的交汇考查；④正、余弦定理的考查；⑤正、余弦定理与应用问题，向量及图象与性质的交汇考查。

（4）纵观近3年福建省、新课标全国卷、新课标全国卷I高考试题，可以看出，在2015年三角函数及解三角形问题考查的重点仍然可能是三角函数 的图象与性质的确定与应用，以及正、余弦定理的应用问题，试题的难度大多属于基础题与中档题。

4、命题规律：

本专题常以三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式及诱导公式、和差角二倍角公式为基础考查三角函数的值域、最值、单调性、周期性等问题，而解三角形则以正弦定理、余弦定理为依托考查三角形度量问题。

5、应对策略：

根据近3年福建省、新课标全国卷、新课标全国卷I的高考命题特点和规律，在复习本专题时，要注意以下几个方面：

（1）从三角函数定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数的化简、求值，结合三角函数的图象，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等三角函数的性质，并能正确地描述三角函数图象的变换。

（2）以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式以及它们的正用、逆用、变形应用，并能正确应用这些公式进行化简、求证与证明。

（3）从余弦定理、正弦定理的公式出发，结合三角形的面积公式，灵活地求解三角形中的边角问题以及三角形中边角互化、判定三角形的形狀等问题，同时注意在实际应用问题中正、余弦定理的应用，注意求解三角形问题时，三角形则隐含条件。

（4）以向量为载体，运用向量的坐标运算及数量积，结合三角形公式灵活地求解三角函数的图象与性质。

（5）重视数学思想方法的应用：①转化与化归思想：在三角函数式的化简求值的三角恒等变换，及利用正、余弦定理进行边角转化的过程中，转化与化归思想的应用比较广泛，因此在复习过程中要强化该思想方法的应用意识。②数形结合思想：在研究三角函数的最值（值域）及简单的三角函数零点问题，方程或不等式问题时，要强化数形结合思想的应用。