由一道中考题的解法探究引发的思考

吴曙 梁宇 邹循东

【关键词】中考题 解法分析 教学启示

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）04A-

0022-02

数学教学强调数学创新思维的培养。在课堂教学过程中，为了提高学生的创新思维能力，克服思维定势带来的局限性，产生更多的创造性的成果，教师可以通过一题多解的教学来达到这个目的。以下是江苏省泰州市的一道中考题，笔者通过对其解法进行探究，抛砖引玉，希望能引起教师的关注，在今后的教学中有针对性地进行训练，培养学生的数学创新思维能力。

1.例题呈现

如图，已知直线l与☉O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与☉O相交于点P，AB与☉O相切于点B，BP的延长线交直线于点C.

（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由.

（2）若PC=2，求☉O的半径和线段PB的长.

（3）若在☉O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求☉O的半径r的取值范围.

2.解法分析

以该题的（1）问为例，试判断线段AB与AC的数量关系。通过观察及日常解题经验我们可以猜测AB=AC，以下只需找出能证明其成立的条件即可。回顾初中所学知识，可以联想到判断两条线段相等的常用方法和涉及的定理有以下几种：

2.1 关于三角形的性质及定理

①两线段是等腰三角形的两腰，证明等角对等边.

②证明两个三角形全等，可得出对应边相等.

③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边.

④线段中垂线性质，即线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.

⑤角平分线性质，即角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

2.2 关于特殊四边形的性质及定理

①平行四边形的对边相等、对角线互相平分.

②矩形的对角线互相平分且相等，菱形的四边相等.

③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等.

2.3 圆

①同圆或等圆的半径相等.

②利用圆的轴对称性，即垂径定理及其推论.

③从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等.

此外，还有等量代换法，计算证明法，如面积法、相似三角形对应线段成比例等性质均可以证明线段相等。

分析此题的已知条件，可以发现给一定圆，作圆的切线后求与圆相关的线段间的关系。而此时结合图形可以看出图中的基本几何图形包括三角形、直角三角形以及圆等，可以主要考虑在三角形中或者圆中求解线段的数量关系。

3.解法探究

解法一：

连接OB

∵AB切☉O于B，OA⊥AC

∴∠OBA=∠OAC=90°

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°

∵OP=OB

∴∠OBP=∠OPB

∵∠OPB=∠APC

∴∠ACP=∠ABC

∴AB=AC

解法二：

连接OB，过点A作AE⊥BC交于点E

∵OA⊥AC，AE⊥

BC

∴∠OAC=∠AEC=90°

∴∠CAE+∠EAP=90°，∠CAE+∠ECA=90°

∴∠EAP=∠ECA

∵AB切☉O于B，AE⊥BC

∴∠OBA=∠PEA=90°

∴∠OBP+∠PBA=90°，∠EAP+∠EPA=90°

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBP

且∠OPB=∠EPA

∴∠OBP=∠EPA

∴∠PBA=∠EPA=∠ECA

∴AB=AC

解法三：

连接OB，过点P作PF⊥AB交于点F

∵AB切☉O于B

∴AB⊥OB

又∵PF⊥AB

∴PF∥OB

∴∠FPB=∠OBP

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBP

且∠OPB=∠APC

∴∠FPB=∠APC

又∵OA⊥AC，PF⊥AB

∴Rt△FPB∽Rt△APC

∴∠ABP=∠ACP

∴∴AB=AC

解法四：

连接OB，过点P作PG⊥OB交于点G

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBC

又∵∠CPA=∠OPB

∴∠CPA=∠OBC

∵OA⊥AC，OG⊥OB

∴∠CAP=∠PGB=90°

∴Rt△CAP∽Rt△PGB

∴∠BCA=∠BPG

又∵AB⊥OB，PG⊥OB

∴AB∥PG

∴∠BPG=∠CBA

∴∠CBA=∠BCA

∴AB=AC

解法五：

连接OB，过点B作BH⊥AC交于点H

∵AB切☉O于B，BH⊥AC

∴∠ABO=∠BHC=90°

∴∠ABC+∠OBC=90°，∠BCH+∠CBH=90°

又∵OA⊥AC，BH⊥AC

∴OA∥BH

∴∠CPA=∠CBH

又∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBC

且∠OPB=∠OBC

∴∠ABC=∠BCH

∴AB=AC

解法六：

连接OB，过点B作BI⊥BC交AC于点I

∵AB切☉O于B，BI⊥BC

∴∠ABO=∠CBI=90°

∴∠ABC+∠OBC=90°，∠ABC+∠ABI=90°

∴∠OBC=∠ABI

∵OA⊥AC

∴∠OAB+∠BAI=90°

∴∠O=∠BAI

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBP

且∠CPB=∠OBP，∠OBP=∠ABI

∴∠CPA=∠ABI

∵∠PCA+∠CPA=90°，∠PBA+∠ABI=90°

∴∠PCA=∠PBA

∴AB=AC

解法七：

连接OB，过点B作BJ⊥OA交于点J

∵AB切☉O于B，BJ⊥OA

∴∠ABO=∠BJP=90°

∴∠ABC+∠OBC=90°，∠JBP+∠OPB=90°

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBC

∴∠ABC=∠JBP

∵BJ⊥OA，AC⊥OA

∴BJ∥AC

∴∠JBP=∠ACB

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC

解法八：

连接OB，过点O作OK⊥BC交于点K

∵OK⊥BC，OA⊥AC，且∠OPK=∠CPA

∴Rt△OPK∽Rt△OPA

∴∠ACP=∠KOP

∵OP=OB，OK⊥BC

∴∠KOP=∠BOK

∵AB切☉O于B

∴∠OBK+∠CBA=90°

又∵∠BOK+∠OBK=90°

∴∠BOK=∠CBA

∴∠CBA=∠ACP

∴AB=AC

通过分析此题的一题多解过程，可以给我们的数学教学提供以下启示：

1.一题多解可以提高学生兴趣，吸引学生注意，达到最佳的课堂效果。从一种解决方法拓展出多种解决方法，举一反三，充分展示了数学知识体系是一种螺旋上升的过程。与此同时，一题多解不仅吸引了学生的兴趣，促进了学生多种感官的积极参与，提高了思维的兴奋点，还达到了最佳的训练效果。

2.一题多解有利于学生构建知识点间的联系，挖掘条件之间的隐含关系。学生在学习时是按照知识点分散学习，而在解题时，尤其是遇到这种综合性的题目，面对题目中所给的众多的已知条件，要学会判断这些条件间或明或暗的联系，这就考察了学生对知识点间内在联系的综合分析与运用能力。因此，在解题时要鼓励学生大胆想象，大胆猜测，密切联系知识点间的内在逻辑，挖掘条件间的隐含关系，大胆探索，勇于实践。

3.一题多解促进师生对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考。通过“一题多解”的设置，可以促进师生思维的有效互动，消除学生的思维定式，拓展学生思维的宽度和广度，不拘泥于单一的思想方法和解题思维，增强学生做数学、用数学的信心。

4.一题多解能够丰富学生的解题经验，关注学生的思维发展。在这道题中，通过建立已知条件与所需条件间的关系，让学生在解题过程中既复习了有关圆的知识与性质，又丰富了两线段相等判定条件与性质、定理，还让学生体验到了成功的喜悦，培养了学生的抽象思维和推理能力，关注了学生创造性思维和实践能力的发展。

（责编 黄珍平）