●胡文生 (磨溪中学 江西德安 332000)
关于切点三角形与切边三角形性质的初探
●胡文生 (磨溪中学 江西德安 332000)
笔者研读了本刊2015年第3期尚品山老师的文章[1]后,深受启发,也试探研究了另一种三角形的性质:切边三角形的性质,并结合切点三角形的特点进行了初探,结果同样发现了一些有趣的性质.
所谓切边三角形,就是过△ABC的3个顶点分别作3条直线与该顶点所在的外接圆半径垂直,3条直线相交而成的三角形(如图1).下面分别介绍它的几个性质.
为了下面叙述方便,本文约定:如图1,在△ABC中,O为外心,它的边长与切边△A1B1C1的边长分别为a,b,c;a1,b1,c1,△ABC,△A1B1C1的面积分别为Δ,Δ1,半周长、外接圆、内切圆半径分别为s,s1;R,R1;r,r1.
图1
最后一个不等式是著名的欧拉不等式,故式( 1) 右边成立.
如图2,△A2B2C2是切点三角形,I是△ABC的内心,设它的3条边分别为a2,b2,c2,半周长、面积、外接圆、内切圆半径分别为s2,Δ2,R2,r2,则
性质 6 △A2B2C2的外接圆半径就是△ABC的内切圆半径,即r=R2,由欧拉不等式知
图2
以上所有不等式当且仅当所有三角形为正三角形时取到等号.
由以上性质可知:切点三角形与切边三角形的许多性质极其相似,但它们又不是相似三角形,它们与中间的△ABC紧密相连.通过中间的△ABC可以沟通起来,建立一些新的不等式,如性质9,又如本文性质5中的式(1)和文献[1]中的式(12)也可以联系起来构成一个新的不等式:
限于篇幅,还有一些性质不再列出.关于切点三角形与切边三角形的性质研究还有待继续挖掘,本文只是初探,仅作为抛砖引玉.
[1]尚品山.关于切点三角形的几个有趣性质[J].中学教研(数学),2015(3):30-31.
[2] Bottema O.几何不等式[M].单墫,译.北京:北京大学出版社,1990.