“圆”来如此——从变换的角度审视椭圆的几个性质

●吴时月 (温州中学 浙江温州 325014)

“圆”来如此
——从变换的角度审视椭圆的几个性质

●吴时月 (温州中学 浙江温州 325014)

文献［1］中通过较繁琐的代数运算，花了较大的篇幅证明了椭圆的一个定理:

定理1已知椭圆E:(其中a＞b＞ 0)，AB是不过椭圆中心的弦，则

2)过点A，B引椭圆的2条切线交于点P，当S△AOB最大时，点P的轨迹为椭圆F:;

3)C是弦AB的中点，当S△AOB最大时，点C的轨迹是椭圆G:.

本文尝试借助仿射变换的不变性，对该性质进行再次探究，希望有更深刻的本质揭示.

1 变换的再介绍

性质1变换后保持同素性和结合性.

性质2变换后共线的3个点单比不变.

性质3变换后2条直线的平行性不变.

性质4封闭图形在变换前的面积S与在变换后的面积S'满足S'=λμS.

2 定理的再探究

图1

定理1的证明1)如图1，已知椭圆E:(其中a＞b＞0)，在伸缩变换φ:的作用下，椭圆E转变为圆E':x'2+y'2=1.设点A，B分别对应于点A'，B'，由性质1知椭圆E的不过椭圆中心的弦AB转变为圆E'的一条不过圆心的弦A'B'，且，因此S△A'OB'的最大值为.由性质4知S△AOB的面积的最大值为.

图2

2)如图2，过点A'，B'引圆E':x'2+y'2=1的2条切线交于点P'.由性质1知点P对应于点P'.当时，易知四边形A'OB'P'是正方形，且，因此点P'的轨迹为圆F':.再由性质3及性质4知，点P的轨迹为椭圆F:，且四边形AOBP为平行四边形.

图3

3 变换的再应用

例1设点A(1，1)，点B，C在椭圆x2+3y2= 4上，求S△ABC的最大值.

(2008年安徽省高中数学竞赛试题)

解显然点A在椭圆x2+3y2=4上，△ABC为此椭圆的内接三角形，定义伸缩变换 φ:则在φ的作用下:椭圆x2+3y2=4对应于圆x＇2+y＇2=4，点A(1，1)对应于点.设点B，C对应于点B'，C'，由性质1知△A'B'C'为圆x＇2+y＇2=4的内接三角形.再由性质4知，因此当S△A'B'C'最大时，S△ABC取得最大值.

由平面几何中的常见结论“圆的内接三角形中正三角形的面积最大”知 S△A'B'C'的最大值为，故S△ABC的最大值为3.

无独有偶，2014年四川省数学高考第20题也可以利用仿射变换的不变性加以解决.下面先给出性质5并从几何角度加以证明.

图4

图5

性质5如图4，直线XY经过椭圆E:(其中a＞b＞0)上的点P，F为椭圆E的焦点，l为其相应的准线，直线XY与l交于点T，则直线XY为椭圆E的切线的充要条件是PF⊥FT.

证明如图5，过点P作椭圆的割线SP交l于点T，联结SF，并在SF的延长线上取点A，过点S，P作l的垂线，垂足分别为S1，P1.由椭圆的定义及平行线的性质易得，因此FT为△SPF的外角平分线，即∠PFT=∠TFA.

当点S沿着椭圆趋近于点P时，∠PFA趋近于180°，由椭圆的切线定义知当直线XY为椭圆E在点P处的切线时，，反之亦然.

例2已知F为椭圆E:(其中a＞ b＞0)的一个焦点，直线l是对应于焦点F的准线，T为l上任意一点，过点F作TF的垂线交椭圆E于点P，Q，证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点).(2014年四川省数学高考试题)

图6

证明如图6，由性质5知直线PT，QT分别为过椭圆上点 P，Q的 2条切线，在伸缩变换 φ:的作用下，椭圆 E 转变为圆 E': x'2+y'2=1.

设点P，Q，T分别对应于点P'，Q'，T'，直线l对应直线l'.由性质1知P'T'，Q'T'分别为圆E': x'2+y'2=1的2条切线，易知直线OT'与直线P'Q'的交点M'是P'Q'的中点，再由性质2知直线OT与直线PQ的交点M是PQ的中点，即OT平分线段PQ.

4 方法的再审视

借助仿射变换的不变性将椭圆的有关问题转化为圆的问题，利用圆丰富的平面几何性质解决问题，不仅使问题的解决过程大大简化，还可以更深刻地揭露问题的本质.因此，从变换的角度来研究椭圆的一些性质，启示我们应主动探寻中学教材与高等数学知识的结合点，从而对中学数学知识有更深层次的理解.教师只有站在较高的位置审视数学问题，才能将问题看得更清楚、更透彻.正如数学家克莱因所说:教师掌握的知识要比他所教的多得多，才能引导学生绕过悬崖、渡过险滩.

［1］ 王慧.一道椭圆常见题的有趣小发现［J］.数学教学，2014(3):16-19.

［2］ 汤敬鹏.利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题［J］.数学通讯，2010(4):44-46.

［3］ 程超，徐汉文.摭谈仿射变换的应用［J］.数学通讯，2009(11):28-30.