对一道解析几何常态题多重障碍的分析和思考

●施哲明 (嵊州市教研室 浙江嵊州 312400)

对一道解析几何常态题多重障碍的分析和思考

●施哲明 (嵊州市教研室 浙江嵊州 312400)

在求解解析几何问题时，经常会碰到沿题意之路走到一半遇到某个障碍而不能顺利走下去的现象，这种障碍对学生来说往往是致命的.如何突破障碍，首要的是学会分析障碍成因，然后寻求相关对策.本文以一道模拟试题为例，分析其求解过程中可能遇到的障碍和求解策略.

例1已知动点P到定点的距离比到x轴的距离多.

1)求点P的轨迹方程C;

2)过曲线C上横坐标为1的点M任作2条相互垂直的直线，在x轴上方分别交曲线C于点A，B，求证:直线AB过定点，并求出该定点的坐标.

(2015年浙江省金华市十校联考试题)

说明对于第1)小题，学生熟悉背景，可以较容易地求出轨迹方程为x2=y或x=0(其中y＜0).下面笔者对第2)小题求解过程中可能产生的障碍进行分析和思考.

1 第一重障碍——直线方程多样性带来的困惑

直线方程的形式多样，有一般式、点斜式、斜截式、截距式、两点式等，从方程的设法上看还有x= ky+b的形式.众多形式虽然能给我们带来许多方便，但是不同的选择又能给我们带来不同程度的障碍.本题涉及到3条直线MA，MB，AB，如果从条件来看，可以从直线MA，MB入手;如果从结论中来看，则可以将直线AB作为突破口.

1.1 从条件MA，MB入手

如图1，可设直线MA的方程为y－1=k(x－1)(显然其斜率存在)，联立

图1

障碍1对于点B的求解是否需要同样的过程?

求得点A，B的坐标之后，接着关注直线AB的方程.首先看其斜率

对于如此复杂的结构，带着它来看直线AB是否经过定点将会很困难，因此又产生了下面的障碍.

障碍2因式分解的能力.

如果不能够对kAB通过因式分解进行化简，带着这个式子来写出直线AB的方程，那么无疑对定点的发现又设置了一道新的障碍.而因式分解在初中教材中已经不作要求，尽管各校在高中入学阶段进行了衔接教材的补充教学，但是熟练程度总是不够.

若能对斜率的分子进行如下的变形:

这样得到直线AB的方程为

相对简洁一些.

障碍3直线系经过某定点的问题.

所谓经过定点的问题是指在含参变量的直线系方程中，某个点不会随参变量的变化而变化的问题.要在直线系中找到定点，必须明确一般的手段和方法.如对于直线y=kx+1来说，直线是随着斜率k的变化而变化的，但是当x=0时，不管k取何值，y=1恒成立，故直线y=kx+1恒过定点(0，1).一般地，对于直线λ(a1x+b1y+c1)+μ(a2x+ b2y+c2)=0(其中λ，μ为变量，ai，bi，ci，i=1，2为常量)，则直线恒过定点(m，n)，其中m，n由方程组确定.因此，对于例1第2)小题而言，k为变量，而我们需要寻找的是不会随k的变化而变化的点，这恰恰构成此题的又一个障碍.现在再回到原题，对

这样，原问题转化为“在b2－3b－k2－k+2=0的前提下，求直线y=kx+b所经过的定点”，这又构成一个求解过程中的障碍.

较为自然的途径之一是用求根公式:

即b=k+2或b=1－k，代入直线y=kx+b，得

直线y=k(x－1)+1恒过点M(1，1)，直线y= k(x+1)+2恒过点(－1，2).若对因式分解具有较强的敏感意识，则可直接把b2－3b－k2－k+2=0进行因式分解，即

b2－3b－k2－k+2=(b－k－2)(b+k－1)=0，这又遇到因式分解的障碍.

2 第二重障碍——知而难通的“设而不求”的思想所带来的困惑

设而不求是解析几何最重要的核心思想之一.它指的是利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换，再通过消元或减元，从而达到运算中以简驭繁的目的.通过设而不求的策略，可以使复杂的问题简单化，解题准确、快捷.但是，对很多学生来说，这只是在教师指导下的一种机械的操作方法，根本不知其所以然，稍一变通，学生就难以通法，这又恰好构成解题过程中的障碍之一.这就要求教师多以例题为载体，阐述这种“设而不求”的思想，让它储存在学生的脑海中，这也就有下面的思考和求解的过程.

分析注意到要求的是直线AB经过定点的问题，因此可以通过设点A，B的坐标，但又不必去求出它们具体的坐标，然后再利用这2个点的坐标关系来获得确定的关系，这就是所谓的“设而不求”的核心思想的体现.

说明通过设点A，B的坐标，并用它们的坐标来表示直线的形式来求得定点问题，过程简洁，结论直观，避免了上述求解过程中所遇到的多重障碍.直线定点问题既可以是关于斜率k的形式，也可以是关于截距b的形式，当然也可以是关于变量x1+x2的形式，即我们需要关注的只是参变量而已，这对定点不会产生任何影响，这也恰好是“设而不求”的蕴意所在.

数学教学离不开数学问题，而没有思维障碍的教学不是真正意义上的教学，没有思维障碍的数学问题更不是真正的数学问题.因此，对数学问题的障碍的分析和思考必须引起足够的重视，只有做好障碍分析，才能做到教学的有的放矢，才能做到对症下药，才能提高教学效果.