等分三角形面积的直线的可视化探究

●陈咸存 (宁波教育学院 浙江宁波 315010)

等分三角形面积的直线的可视化探究

●陈咸存 (宁波教育学院 浙江宁波 315010)

文献［1］考虑了平分三角形面积的直线的存在性，且给出了满足条件的直线方程.本文将分别用传统演绎推理及现代信息技术考虑一般情形即n(其中n≥1)等分三角形面积的直线的存在性，并补充文献［1］中的遗漏情形.

1 演绎推理

如图1，假设n(其中n≥1)等分△ABC面积的直线存在.设该直线为 l，则 l必与△ABC的2条边相交，不妨设与边BC，CA分别交于点D，E，且.建立如图1所示的直角坐标系，设S△ABC=S，|BC|=a，|CA|=b，|AB|=c，|CD|=λ，|CE|=μ，∠ACB= θ，则D(λ，0)，E(μcosθ，μsinθ)，从而得到直线l的方程为

图1

2 信息技术

下面将用数学软件“几何画板”来探究等分三角形面积的直线问题，从线包络、点轨迹这2个角度直观显示相应结论，形象把握数学对象的本质特征.

2.1 线包络

如图2，用几何画板［变换］菜单中的［缩放］作出点B关于点C(中心)的缩放点B'，即，显 然.选中线段BB'，在［构造］菜单中的［线段上的点］得线段BB'上的点D，联结DA，过点B'作B'E∥DA交 AC于点 E，联结 DE.易证 S△B'EA= S△B'ED'，则 S△AB'C=S△CDE，因而，故DE为n等分△ABC面积的一条直线.同时选中点D及线段DE，在［构造］菜单中的［轨迹］可得过线段CB上的点且n等分△ABC面积的所有直线(如图3所示)，即为过线段CB上的点且n等分△ABC面积的直线的包络.类似可得过△ABC另2条边AB，AC上的点且n等分△ABC面积的所有直线(如图4所示).特殊地，可得平分△ABC面积的所有直线(如图5所示).

图2

图3

图4

图5

图6

2.2 点轨迹

我们知道点轨迹与直线包络相互对偶，由第1部分的结论知图3中过线段CB上的点且n等分△ABC面积的直线的包络对偶的点的轨迹为方程(5).如图2，用几何画板可先作线段DE的中点F，同时选中点D及点F，在［构造］菜单中的［轨迹］可得过线段CB上的点且n等分△ABC面积的直线的包络的对偶的点的轨迹(如图6所示).类似可得另2条边AB，AC上满足条件的相应的点的轨迹(如图7所示).特殊地，可得到平分△ABC面积的直线包络相应的点的轨迹(如图8所示).

图7

图8

由图5、图8易得平分三角形面积的直线的结论:

结论设P为平面内任一点，则

1)当P为曲边△LMN内一点时，过点P有3条直线平分△ABC的面积;

2)当P为曲边△LMN边上一点时(除顶点L，M，N)，过点P有2条直线平分△ABC的面积;

3)当P为曲边△LMN外的点或点L，M，N时，过点P有1条直线平分△ABC的面积.

可见文献［1］关于过点P平分△ABC的面积的直线问题中遗漏了点P在曲边△LMN边上的情形.另外从图5可见任给一方向，有且仅有1条以此为方向的直线平分△ABC的面积.

显然文中的n∈R(不必要求n∈N).

［1］ 潘洪亮.等分三角形面积的直线［J］.中学数学，1996(4):19-20.

［2］ 李勤俭.直线等分三角形面积的一般性思考［J］.数学通报，2010(8):28-29.

［3］ 范文贵.基于信息技术开展数学探究可视化的研究［J］.中国电化教育，2008(8):69-73.