你喜欢直线吗？

胡章琴

你喜欢直线吗？会画它吗？

你会求直线的方程吗？

直线的方程有五种形式，你都熟悉吗？你知道它们的优缺点吗？那你最喜欢谁呢？

我最喜欢点斜式.

例1 （1）已知直线ι过点A（2，1）且在两坐标轴上的截距相等，求直线ι的方程.

（2）已知直线Z过点A（2，1）且与χ轴、y轴的正半轴分别相交于B，C两点，求△OBC的最小面积，并求此时的直线ι的方程.

第一问你会怎么解呢？

有些同学很喜欢用截距式，哈哈！这样就容易漏解啦！

看我的：

第二问呢？

这道题可以用截距式了吧！

对，这道题是可以用截距式.不过我还是认为点斜式更好，不信我们来PK 一下.

简单吧！下面的就交给你了.

现在你是否也觉得点斜式好用呢？此时可能有的同学会认为我的第（1）问用的方法不够简捷，是的，如果我们同时结合图形会更快地解决问题.本来数形结合就是解决数学问题非常好的一个方法，这点我们在学习解析几何时更应该深有体会.第（2）问如果你不画图你就不能快速看出 k<0这个条件.

那是否确定一条直线的条件就是“一点十斜率呢”？

例2 已知圆C：χ2+ y2=4，

（1）过点A（2，3）作圆C的切线ι，求切线ι的方程.

（2）过点B（l，3）作直线m与圆C相交所得的弦长为2√3，求直线m的方程.

（3）若直线n过点B（l，3），且圆C上恰有三个点到直线n的距离为1，求此时直线n的方程.

问 （1）中的切线ι有几条？

答 因为点A（2，3）在圆C的外面，应该有两条，那为什么用点斜式只求出了一条呢？

你知道问题出在哪儿吗？对！因为确定直线的不是“一点十斜率”，而是“一点十方向”，斜率≠方向，而点斜式唯一的缺陷就是不能表示与χ轴垂直的直线，故在使用点斜式时一定要结合图形观察斜率不存在的直线是否满足题意.

由上可知，（2）中的直线m也有两条，利用垂径定理把“弦长为2√3”的条件转化为“圆心到直线m的距离为1”即可求出.

你会解第（3）问吗？圆C上恰有三个点到直线n的距离为1是什么意思？

结合图1，我们不难发现：因为圆的半径为2，因此只需圆心到直线n的距离为1时，圆C上就恰有三个点到直线n的距离为1，这样第（3）问就转化成第（2）问了，你明白了吗？

虽然我喜欢点斜式，可是我不会忽略它的缺点，因此我每次在用它之前都会结合图形看看斜率不存在的那条直线是否也是我所需要的.相信你以后也会这么做！

确定直线除了用“一点十方向”外，还可以用什么条件呢？

例3 已知直线ι：χ+y-2=0，

（1）求直线ι关于点A（2，3）对称的直线m的方程.

（2）求直线ι关于直线y=2χ对称的直线n的方程.

你会画出要求的这些直线吗？试试看！

如果你能画出它们，我相信你就能求出它们相应的方程.

抛砖引玉，我先来说说我的解法.

因为两点确定一条直线，因此我们还可以用“一点十一点”来求直线方程.

解析 （1）在直线ι上任取两点，如（2，0），（1，1），求出它们关于点A（2，3）对称的点，则这两点必在直线m上，因此，直线m的方程就可求出.

（2）由图2可知：直线κ与直线y=2χ的交点（

）必在对称的直线n上，再在直线ι上任取一点（2，0），其关于直线y=2χ的对称点（

）也在直线n上，这样，直线n的方程就可求出来了.

咦！还有更好的方法？好，我们一起来看看.

对，这两问都可用一点十方向来做.因为（1）中的直线m和直线ι是平行的；（2）中的直线n，直线ι与直线y=2χ的夹角相等.

现在你知道了吗？确定直线方程其实就这么简单：

（1） 一点十方向；

（2） 一点十一点.