在错误中加深认识

刘族刚 葛红艳

认识1  待定系数法的运用

“待定系数法”是解析几何的一个基本方法，但无论是设直线方程为[y=kx+b]或[x=ky+a]形式，都有其局限性，一定要考虑斜率不存在（或斜率为0）的情况. 利用判别式来解决直线与曲线的位置關系，是解析几何的通法——代数法. 但遇到直线与双曲线、直线与抛物线位置关系时，代入消元后得到的“二次型”方程是否为真的是二次方程，往往是分类讨论的点.

例1  过点[P（0，2）]且与抛物线[y2=x]仅有一个交点的直线共有         条.

错解  设直线的方程为[y=kx+2]，代入抛物线[y2=x]得，[k2x2+（4k-1）x+4=0]. 根据直线与抛物线仅有一个交点得，[Δ=（4k-1）2-16k2=0]，则[k=18]，所以过点[P（0，2）]且与抛物线[y2=x]仅有一个交点的直线仅有一条.

解析  本解法错误有三处. 其一是方程为[y=kx+2]不能表示过点的所有直线，设直线的方程为[y=kx+2]时，忽略直线斜率不存在的情况，事实上，斜率不存在是的直线为[x=0]与已知抛物线相切，显然符合要求. 其二是利用判别式时没注意到前提是一元二次方程条件，即[k≠0]，此时由[Δ=（4k-1）2-16k2=0]得，[k=18]. 其三是当[k=0]时，直线为[y=2]显然也符合要求，所以有[x=0，y=2]和[y=18x+2]三条直线符合要求.

认识2  熟记一些“二级”结论

近年来，湖北高考命题的一个不变的原则就是“源于课本，又不囿于课本”. 因此，在学习中，我们要充分发挥课本上题目的辐射作用，熟记一些对解决选择、填空题非常有效、对解答题也有很好的指导作用的“二级”结论. 例如：必修2[P124]第A5题已知直径两端点的圆的方程;椭圆“焦点三角形”面积等有关结论. 必修2[P124B3]，[P144B2]可推广为阿波罗尼斯圆. 选修2-1[P41]例3可推广为：[M]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上任意一点， [AB]为椭圆的任意中心弦，则[kMA?kMB=-b2a2]，并可推广到双曲线. 选修2-1[P73]第6题可推广为：[A，B]是抛物线[y2=2px]上任意两点，[O]为原点，则[OA⊥OB?]直线[AB]过定点[（2p，0）].

例2  已知椭圆[x216+y29=1]的左右焦点为[F1，F2]，[P]点在此椭圆上，若[△PF1F2]为直角三角形，则点[P]到[x]轴的距离是        .

错解  根据焦点三角形的面积[SΔPF1F2=b2tanα2] （其中[α=∠F1PF2]）及等积法，结合[∠F1PF2][=90°]得， [SΔF1PF2=12×27?d=9×tan45°]，从而[d=977].

解析  本解法错误有两处，其一是将[△PF1F2]为直角三角形默认为[∠F1PF2=90°]，忽略了[∠PF1F2=90°]和[∠PF2F1=90°]的情况，显然[∠PF1F2=90°]和[∠PF2F1=90°]时，符合要求，此时点[P]的横坐标是[7]或[-7]，代入椭圆方程，易得点[P]到[x]轴的距离是[94]. 其二是[∠F1PF2=90°]的情况实际上是取不到的，因为[∠F1PF2]取得最大时，点[P]位于在短轴顶点，此时[∠F1PF2]为锐角，所以正确答案为[94].

认识3  掌握圆锥曲线的性质

（1）解析几何的概念、性质是高考必考点（如直线的倾斜角、截距、圆锥曲线的定义及焦点坐标、离心率、弦长公式、[a，b，c，e，p]的含义等），这些都是要准确、牢记把握，不可张冠李戴、似是而非（如双曲线定义中“差的绝对值”不可漏掉）.

（2）解析几何是用代数的办法研究几何图形，根本任务有两个：根据条件，求曲线的方程;通过方程研究曲线的性质. 如何将曲线（形的问题）与曲线的方程（数的问题）以及将直线与圆锥曲线的几何位置关系代数化（用方程、不等式准确描述）是解决问题的关键.

例3  已知两定点[F（-2，0），G（2，0）]，满足条件[PG-PF=2]的点[P]的轨迹是曲线[E]，直线[y=kx-1]与曲线[E]交于[A，B]两点，（1）求[k]的范围;（2）若[AB=63]，求[k]的值.

错解  （1）因为点[P]满足条件[PG-PF=2]，所以点[P]的轨迹是以[F，G]为焦点的双曲线，且实轴长为[2]，焦距为[FG=22]，所以曲线的方程为[x2-y2=1.]

设[A（x1，y1），B（x2，y2）]，由[x2-y2=1y=kx-1]得，

[（k2-1）x2-2kx+2=0]，

[Δ=4k2-8（k2-1）>0]得，[-2

[（2）AB=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）[（2kk2-1）2-4×2k2-1]=63.]

则[k2=57]或[k2=54]，故[k=±357]或[k=±52.]

解析  本解法错误有四处. 首先，将满足条件[PG-PF=2]的点[P]的轨迹误判为双曲线，实际上点[P]的轨迹只是双曲线的左支，用代数方程表示为[x2-y2=1（x<0）]. 其次，用判别式大于零的前提是二次方程，从而[k2-1≠0]不可少. 第三，仅仅用判别式大于零还是不够的，因为[Δ>0]只能判断二次方程有无实数根（曲线在平面内有无交点），实际上直线与双曲线的左支有两个交点，务必使方程有两个不等的负根，从而应该增加条件[x1+x2<0，x1x2>0]，从而得到[-2

认识4  圆锥曲线的综合性问题

直线与圆锥曲线的综合性问题是高考“不动点”，从湖北近三年的高考来看，此类试题一般定格为理科第21题（倒数第二题）或文科第22题（压轴题），主要考查圆锥曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等.湖北卷的命题趋向平稳、中庸，因而，注重基础、突出通法，重视细节是备考的不二法宝.

例4  在平面直角坐标系[xOy]中，点[M]到点[F1，0]的距离比它到[y]轴的距离多[1]，记点[M]的轨迹为[C].

（1）求轨迹为[C]的方程;

（2）设斜率为[k]的直线[l]过定点[P（-2，1）]，求直线[l]与轨迹[C]恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时[k]的相应取值范围.

错解  （1）将[y]轴向左平移一个单位，得直线[x=-1]，则点[M]到点[F1，0]的距离等于到直线[x=-1]的距离. 依抛物线的定义知，[M]的轨迹是以[F（1，0）]为焦点，直线[x=-1]为准线的抛物线，故曲线[C]的方程为[y2=4x].

（2）设直线[l]的方程为[y-1=k（x+2）]，

由[y-1=k（x+2），y2=4x]得，

[ky2-4y+4（2k+1）=0].①

当[k=0]时，[y=1]，把[y=1]代入[C]的方程得[x=14.]

所以此时直线[l]与轨迹[C]恰有一个公共点[（14，1）].

当[k≠0]时，方程①的判别式为[Δ=-16（2k2+k-1）].

（i）若[Δ<0]，解得[k<-1]或[k>12].即当[k∈（-∞，-1）?（12，+∞）]时，直线[l]与[C]无公共点.

（ii）若[Δ=0，]即[k∈{-1，12}]，直線[l]与[C]有一个公共点.

（iii）若[Δ>0]，即[-1

综上：当[k∈{0，-1，12}]时，直线[l]与[C]有一个公共点;当[-1

解析  上述解法虽然注意到使用判别式的判定方程根的前提条件是二次方程，但犯了致命的错误，就是将抛物线的定义“平面内，到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹”等同于“平面内，到定点的距离比到定直线的距离大（小）某一定值的点的轨迹”，从而忽略[x]轴的负半轴这一射线. 本题还容易忽略“分段曲线”的分段条件，错误地认为直线[l]与[x]轴的交点为[（2k+1k，0）]一定符合要求，再利用判别式的符号对交点个数进行判断，忽略了方程根的分布而出错. 正解过程略.