一“意”多“行” 纵引横比

余锦银 杨美璋

纵向引申

用动态观念对原题加以纵向引申、 变化，可帮助自己用动态意识去观察、联想，类比解决问题，有助于培养自己的创新能力.对典型例、习题可从以下几个角度进行纵向引申.

改变提问方式：把证明题改变为探索题，将结论隐蔽起来，可提高难度.改变提问的角度，往往也会改变题目的难度.

改变题设条件：适当增删已知条件，隐蔽条件明朗化，明显条件隐蔽化，直接条件间接化，间接条件直接化，抽象条件具体化，具体条件抽象化，乃至条件参数的变更.

改变综合程度：增减知识点的组合，调整解题方法的结构，变换知识和方法的综合广度或者深度等等.

例1  “如图 ，直线[y=x-2]与抛物线[y2=2x]相交于[A，B]两点，求证[OA⊥OB].”

变式引申1  改变直线方程，凸现问题本质

（1）如果把上题中的直线改为[y=2（x-2）]，则是否有[OA⊥OB]呢？（2）如果把上题中的直线改为[y=3（x-2）]，则是否有[OA⊥OB]呢？（3）这些能使得[OA⊥OB]的直线有何共同点？（证明略）

变式引申2  凸现“变式引申1”的结果

（1）[A，B]是抛物线[y2=4x]上非原点的两动点，若直线[AB]过点（2，0），则始终有[OA⊥OB]. （2）[A，B]是抛物线[y2=8x]上非原点的两动点，直线[AB]是否也过某一点定点，使得[OA⊥OB]？（3）[A，B]是抛物线[y2=2px（p>0）]上非原点的两动点，直线[AB]是否也过某一点，使得[OA⊥OB]？（证明略）

变式引申3  凸现一般化

设[A，B]为抛物线[y2=2px（p>0）]上原点以外的两个动点，若直线过定点[（2p，0）]，则[OA⊥OB].（证明略）

变式引申4  逆向思考

设[A，B]是抛物线[y2=2px（p>0）]上两个非原点的点，[O]为原点，若[OA⊥OB] ，则直线[AB]必过定点[（2p，0）].

证明  设直线[OA]的斜率为[k]， 则直线[OB]的斜率为-[1k]，则直线[OA]的方程可表示为[y=kx]①，直线[OB]的方程可表示为[y=（-1k）x]②.

又抛物线方程为[y2=2px]③，

联立①③和①②得，[A]（[2pk2]，[2pk]），[B][（2pk2，-2pk）].

∴[AB]所在直线的方程为：[x-2p+（k2-1）yk]=0.

令[k2-1k=m]，则直线的方程可写为[x-2p+my=0]，该方程为直线系方程，恒过定点[（2p，0）].故结论得证.

于是我们得到下面结论1：[A，B]是抛物线[y2=2px]上非原点的两动点，[O]为原点，则“[OA⊥OB]”的充要条件是“[AB]所在直线必过定点[（2p，0）]”.

变式引申5  将结论1换个说法

若抛物线[y2=2px]与过定点[（2p，0）]的直线交于[A，B]两点，则以[AB]为直径的圆与抛物线的准线有何位置关系？（证明略）

变式引申6  由结论1知，设[P（x0，y0）]是抛物线[y2=2px（p>0）]上的任意一个定点，考虑到[O（0，0）]是[P（x0，y0）]的一种特殊情形

过抛物线[y2=2px（p>0）]上任一定點[P（x0，y0）]作两弦[PA，PB]，则[PA⊥PB]的充要条件是弦[AB]过定点[M（x0+2p，-y0）].（证明略）

变式引申7  又[kPAkPB=-1]是[kPAkPB=λ]（[λ]为常数）的特殊情形，将变式引申6进行再推广

过抛物线[y2=2px（p>0）]上任一定点[P（x0，y0）]作两弦[PA，PB]，则[kPAkPB=λ]（[λ]为非零常数）的充要条件是弦[AB]过定点[M（x0-2pλ，-y0）].

在变式引申7中，当[P（x0，y0）]在抛物线[y2=2px]上运动时，令[x=x0-2pλy=-y0]，解得[x0=x+2pλy0=-y]，并代入[y2=2px]中得[y2]=[2px+4p2λ]，可知[M]点的轨迹为抛物线.

于是我们又得到下面结论2：以抛物线[y2=2px]上一点[P（x0，y0）]为定顶点的所有内接三角形中，[kPAkPB=λ]的充要条件是弦[AB]过点[M（x0-2pλ，-y0）]，当[P]在抛物线上运动时，点[M]的轨迹仍为抛物线.

点拨  本题通过一系列纵向变式引申，逐步发现抛物线的弦[AB]所过定点[M]的一般性结论.

横向对比

在研究“变题”时，对数学中的试题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系.有利于透过现象看到问题及其思想方法的核心本质，有助于在情景变化过程中抓住问题的本质，真正做到举一反三、触类旁通.

例2  已知椭圆方程[x24+y23=1]，[F1，0，N4，0]，[M]为椭圆上一点，且MF与x轴不垂直，直线MF，MN分别交椭圆于A，B，求证：[AB⊥x]轴.

变式引申1  将具体椭圆改为一般化的椭圆

已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1a>b>0]，[Fc，0，][Na2c，0]，M为椭圆上一点，且MF与x轴不垂直，直线MF，MN分别交椭圆于另一点A，B，求证：[AB⊥x]轴.

变式引申2  将椭圆改为双曲线

已知双曲线[C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0，][Fc，0，][Na2c，0，]M为双曲线上一点，且MF与x轴不垂直，直线MF，MN分别交双曲线于另一点A，B，求证：[AB⊥x]轴.

证明  以上两个命题可以一起证明. 统一设椭圆和双曲线的方程为[mx2+ny2=1]（[m>0]，且[n≠0，]且当[n>0]时，[m

设[Mx0，y0]，则有[mx02+ny02=1].

所以[kMF=y0x0-c]，直线[MF：x=x0-cy0y+c]，

代入[mx2+ny2=1]得，

[mx0-c2y20+ny2+2cmx0-cy0y+mc2-1=0].

由韦达定理得，

[yA?y0=mc2-1m（x0-c）2+ny02?y02][=mc2-11-2mcx0+mc2?y20]，

所以[yA=mc2-11-2mcx0+mc2?y0].

同理，在上式中，用[1cm]换掉[c]，即得，

[yB=m1c2m2-11-2m1cmx0+m1c2m2?y0=1-mc2mc2-2mcx0+1?y0=-yA.]

而由圆锥曲线的对称性知：[xA=xB]，所以[AB⊥x]轴.

变式引申3  将椭圆改为抛物线

抛物线[C：y2=2px，（p>0）]的焦点为[Fp2，0]，准点[N-p2，0]，[M]为抛物线上一点，且[MF]不垂直[x]轴，直线[MF，MN]分别交抛物线于[A，B]，求证：[AB⊥x]轴.（证明略）

点拨  本题通过一系列横向变式，既可以发现三种圆锥曲线，在相类似的条件下具有类似的结论“[AB⊥x]轴”;还可以发现三种圆锥曲线，相类似的题型往往有相类似的解题策略和方法.