圆锥曲线中的共性问题

马海俊

一、考查椭圆、双曲线离心率

椭圆、双曲线的离心率考查有两种形式：一种是计算离心率.关键是建立一个关于[a]，[b]，[c]的方程，通过这个方程只要能求出[ca]或[ba]即可，不一定具体求出[a]，[b]，[c]的数值. 第二种是求离心率的范围.关键是确立关于[a]，[b]，[c]的不等式，确定[ca]的范围.

例1  （1）已知椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右顶点分别是[A，B]，左、右焦点分别是[F1]，[F2].若[|AF1|]，[|F1F2|]，[|F1B|]成等比数列，则此椭圆的离心率为       .

（2）已知[F1，F2]是椭圆和双曲线的公共焦点，[P]是它们在第一象限的公共点，且[∠F1PF2=π3]，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（   ）

A. [433] B. [233]  C. 3   D. 2

解析  （1）椭圆的顶点为[A（-a，0）]，[B（a，0）]，焦点为[F1（-c，0）]，[F2（c，0）]，所以[|AF1|=a-c]，[|F1B|=a+c]，[|F1F2|=2c].因为[|AF1|]，[|F1F2|]，[|F1B|]成等比数列，所以有[4c2=（a-c）（a+c）=a2-c2]，即[5c2=a2]，所以[a=5c]，故离心率[e=ca=55].

（2）法一：设椭圆标准方程为[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]），双曲线准方程为[x2a12-y2b12=1]（[a1>0，b1>0]），由题意知，[a>a1>0]，半焦距为[c]. [P]为第一象限点.

由椭圆、双曲线定义得，

[|PF1|+|PF2|=2a]，[|PF1|-|PF2|=2a1]，

故[|PF1|=a+a1]，[|PF2|=a-a1].

因为[∠F1PF2=π3]，由余弦定理得，

[4c2=（a+a1）2+（a-a1）2-（a+a1）（a-a1）]，

故[4c2=a2+3a12].所以[4=a2c2+3a12c2，]即[4=1e2+3e12].

由柯西不等式得，

[4×43=（1e2+3e12）（12+（13）2）≥（1e+1e1）2].

所以[1e+1e1]的最大值为[433].答案为A.

法二：由法一知，[4=a2c2+3a12c2]，

令[1e=2cosθ]，[3e1=2sinθ]，

则[1e+1e1=2cosθ+233sinθ][=433sin（θ+β）]，

其中[tanβ=3]，

所以[1e+1e1]的最大值为[433].答案为A.

点拨  考查椭圆、双曲线的定义及性质，柯西不等式，三角变换等.近3年湖北卷在选填题中考查圆锥曲线有两种趋势值得同学们注意：（1）二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的综合考查，（2）和不等式、三角等联合考查. 建议同学们在学习中，加强此类题目的训练.

二、考查直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系判断通常用判别式法.即联立曲线方程和直线方程，消去[y]，得到关于[x]的一元二次方程，其判别式为[Δ]. 若[Δ>0]，则直线与曲线相交;若[Δ=0]，则直线与曲线相切;若[Δ<0]，则直线与曲线相离.对圆锥曲线的考查，不管是定值和定点问题、最值问题，还是探索性问题都是以直线与圆锥曲线的位置关系的研究为基础出题.

例2  已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的离心率为[22]，左右焦点分别为[F1，F2]，抛物线[y2=42x]的焦点[F]恰好是该椭圆[C]的一个顶点.

（1）求橢圆[C]的方程;

（2）已知圆[O：x2+y2=23]的切线[l]与椭圆相交于[A，B]两点，那么以[AB]为直径的圆是否经过定点，如果是，求出定点的坐标;如果不是，请说明理由.

解析  （1）因为椭圆离心率是[22]，

所以[ca=22]，即[a=2c].

因为抛物线[y2=42x]的焦点[F（2，0）]恰好是椭圆C的一个顶点，

所以[a=2]，[c=1，b=1].

所以椭圆方程为[x22+y2=1].

（2）①当直线[l]的斜率不存在时，因为直线[l]与圆[O]相切，

故切线方程为[x=63]或者[x=-63].

当切线为[x=63]，联立椭圆方程解得交点分别为[（63，63）]，[（63，-63）]，则以[A，B]为直径的圆的方程为[（x-63）2+y2=23].

同理当切线为[x=-63]时，以[A，B]为直径的圆的方程为[（x+63）2+y2=23].两圆的交点为[（0，0）]，

故以[A，B]为直径的圆恒过定点[（0，0）].

②当直线[l]的斜率存在时，设直线方程为[y=kx+m]，

由[x22+y2=1，y=kx+m]消去[y]得，

[（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0]，

设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，

则[x1+x2=-4km2k2+1]，[x1?x2=2m2-22k2+1]，

所以[y1?y2=（kx1+m）（kx2+m）=m2-k22k2+1.]

所以[OA?OB=x1x2+y1y2=3m2-2k2-22k2+1]（※）.

因为直线[l]与圆相切，所以圆心到直线的距离[d=m1+k2=63.]

整理得，[m2=23（1+k2）]（※※），

将（※※）代入（※）式得，[OA?OB=0].

显然以[AB]为直径的圆经过定点[O（0，0）].

综上可知，以[AB]为直径的圆经过定点[O（0，0）].

点拨  近3年圆锥曲线综合性题目的考查多以直线与曲线位置关系为出发点，考查椭圆、抛物线方程及性质;直线与圆，直线与椭圆的位置关系，定点问题. 通常有以下几点需要引起注意.（1）直线与圆的位置关系判断通常用点线距离法，即圆心到直线的距离[d]与半径[r]比较.当[d>r]，直线与圆相离;当[d=r]，直线与圆相切;当[d