例题教学背后的能力培养

李承华

高中数学人教版A版本必修2第四章，第二节（4.2.1）

例2.已知过点M（-3，-3）的直线ι被圆x2+y2-4x-21=0所截得的弦长为4 ，求直线ι的方程。

分析：此题主要是巩固点与圆的位置关系的判断，显然点M（-3，-3）在圆内，过点M（-3，-3）的弦，有无数多条，过此点的弦定长为4 的弦会有几条呢？

提示学生利用几何直观进行课堂探究，将代数问题几何化;

圆心（0，-2） 半径r= =5  弦心距d= 直线ι的斜率k是否存在？

若k不存在，则ι的方程为x=-3代入圆的方程得y2+4y-12=0

解得y1=-6或y2=2 此时 得弦长L=8≠4

故过点M（-3，-3）的直线k的斜率存在，设过点M（-3，-3）的斜率为k，则ι的方程y+3=k（x+3），整理得kx-y+3k-3=0

代入点线距公式得

弦心距d= ，d=

r2=（ ）2+d2 即25=50+d2 解得d=

|3k-1|=  两边平方得2k2-3k-2=0

解得k1=- 或k2=2

所以直线ι有两条，它们的方程分别为y+3=- （x+3）

或y+3=2（x+3）

x+2y+9=0或2x-y+3=0

回代后，两条直线均满足条件。

题后想：条件①圆的一般方程，②弦长，③定点（在圆内），求解过定点的直线方程。

以上是在圆中与弦有关的问题，称为“弦长问题”，通常要培养学生具备以下能力：①知道弦长求直线方程，②知道方程求弦长;

例2是对能力①的训练.

现举例对能力②作目标训练：

圆的方程x2+y2-4x-21=0被直線3x-2y-6=0所截，求弦长.

分析：弦心距d、半弦长、圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理，得r2=（ ）2+d2   d= =      r=5

代入后解得L=

题后想：条件①圆的一般方程，②直线的一般方程;求解直线在圆上的弦长.

在以上的两个例题的解答过程中，同样用到几何直观;分别就已知弦长求方程，已知直线和圆的方程求弦长;第一个问题侧向代数解决问题，第二个问题侧向几何直观解决问题，同时都渗透了数形结合思想，看到形要能联系到方程，看到方程能联系到几何图形;最后在数形结合中解决“弦长问题”。