剖析试题背景 回归问题本质

张军

【摘要】在高三数学复习中，解析几何题被认为是“一根很难啃的硬骨头”，如何使得这根“硬骨头”变得容易“啃”，而且要使学生“啃”得津津有味，甚至变成一道“美味佳肴”，这当然是我们高三复习要努力追求的.本文以2013年浙江高考理科數学卷21题为题源，通过对它的分析、设疑、求解、变式、拓展等教学环节进一步体现高考题这一宝贵的教学资源在教学中的潜在价值.

【关键词】解析几何；课堂教学；问题本质；思想方法

一、问题背景

经常会有学生反映：“老师，复习了那么长时间的解析几何，做了那么多解析几何试题，但是我现在还是很恐惧解析几何，模拟卷的解析几何题我都逼着自己尝试着做，有时会做，有时一点思路都没有，我该怎么办呢？”在解析几何的复习过程中，教师该如何带领学生在制高点获得突破？让我们首先来看一例：

引例 （2013浙江理21）如图，点P（0，-1）是椭圆C1：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径.l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）求△ABD面积取得最大值时直线l1的方程.

本题涉及椭圆的标准方程及简单几何性质，圆的标准方程及简单几何性质，直线方程，直线与圆相交弦长的计算，直线与椭圆相交弦长的计算，三角形面积的计算等，涉及内容丰富.第（Ⅱ）小题建立在第（Ⅰ）小题的基础上，起点低，入口宽，层次递进，由易到难，突出主干知识，紧扣考试说明.但是据统计，第（Ⅱ）小题得分并不高，究其原因，主要是解题方法选择不当，运算能力不够，最值求取存在问题，缺少知识的融会贯通和灵活运用.

那么如何高效地开展复习课教学，使学生学以致用呢？

二、案例操作

1.试题剖析

我们首先明确要求什么.题目要求我们求得三角形面积最大值时的直线方程，那么必须要得到三角形面积的表示.根据题意，我们能很快得到三角形的面积可以表示为S=12|DP|·|AB|.

那么怎么求呢？根据解析几何的基本思想，利用代数来研究几何，我们设法求出两条弦长的代数式，涉及求解这个问题的三个关键点：直线方程、面积表示、面积的最大值.故可确定本题的解决方式大致如下：参数设定→方程及相关计算→等价转化.

2.过程探究

万事开头难，教学中针对学生解题的薄弱之处——如何寻找解题的突破口，本题的分析过程从读题、审题入手，重视对有效信息的提取、翻译、加工、应用等环节的体现.通过几个问题，将题目层层剖析，让学生亲历问题分析的过程.

（Ⅰ）由已知得到b=1，且2a=4，∴a=2，所以椭圆的方程是x2[]4+y2=1.

（Ⅱ）（1）如何选取参数？

我们发现直线l1的位置一旦确定，整个图像就确定了，而用代数来控制直线l1的就是它的斜率.因为直线l1⊥l2，且都过点P（0，-1），由题可得直线l1的斜率一定存在.这一步骤中借助图形的几何性质合理地分析出两条直线的假设方式，既避免了分类讨论，又没有任何遗漏.考查了直线方程相关基础知识，也通过这样的步骤合理地设定了本题的参数.所以设直线l1：y=kx-1kx-y-1=0，则直线l2的方程为x+ky+k=0，目标量为S=12|DP|·|AB|，难度为分别求弦长AB和DP.

（2）题目中罗列的条件有哪些？

①l1交圆C2于A，B两点；②l2交椭圆C1于另一点D.

（3）如何用代数的方法进行翻译刻画呢？

在合理假设直线方程的前提下，通过联立方程，利用代数法可求得弦DP的长度，以及在圆中利用几何法可求得弦AB的长度，这样就可以顺利写出三角形ABD的面积表示.这里涉及解析几何大题中的一些基本方法，如联立方程、韦达定理、弦长等.

弦长AB根据直线与圆相交，利用垂径定理求取得到关于斜率的一个函数d=1[]1+k2，AB=24-d2=23+4k21+k2.

DP则根据直线与椭圆相交，通过联立方程组和弦长公式求得.由x+ky+k=0，

3.回归本质

这个题思路简单，采取的方法是通性通法.其实仔细分析每年高考题，我们会发现解析几何的题具有很强的规律性，在每一题中总是若隐若现地出现那种看似无形却有形、犹抱琵琶半遮面的情景，表达的精髓无非是坐标与方程，方程的核心则是直线方程，曲线方程往往是已知的.对直线方程，我们要有效地假设未知的信息，譬如引进斜率作为变量，通过直线与曲线方程联立，结合韦达定理用设而不求的方式求解.总之，直线及其位置关系只有通过方程才能展开运算，只有运算才能对几何关系进行有效的表达.

一堂课的内容是有限的，但对问题的研究是无止境的.在课堂讲评之后，做以下变式，留作学生课后探究：

变式1：把椭圆改成抛物线y=2x2-6，点P（0，-2），l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，l1交抛物线于A，B两点，l2交圆于另一点D，求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.

变式2：椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别为P，N.

1.求椭圆C1的方程.

2.（1）设PM的斜率为t，直线l的斜率为k1，求k1t的值；

（2）求三角形EPM面积最大时直线l的方程.

三、教学反思

解析几何是一门“方法论”色彩浓厚的学科，应当以“用坐标法研究问题”为主线，在教学过程中，向学生渗透函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及运动变换思想.

（1）课堂教学应当“把时间还给学生，把方法教给学生”；

（2）课堂教学应当使学生的思维由“表层结构”向“深层结构”发展.

【参考文献】

[1]洪昌强，胡小莉.回眸新课标下的浙江高考解析几何解答题[J].数学通报，2014（4）：52.

[2]王连坝.5年高考3年模拟——高考理数[M].首都师范大学出版社，2014.

[3]晏良江.一道高考题的求解历程[J].数学通讯，2012（11）.