一类应用题的思路与解法

高广河 谢爱菊

【摘要】 《数学课程标准》指出：“数学教学，应从学生已有的知识经验出发，让学生亲身经历参与特定的教学活动，获得一些体验. ”应用题教学就是数学教学中培养学生解决日常生活和生产中简单实际问题能力的重要途径，对培养学生理解数学知识的思维能力和良好的思维品质等多方面都具有重要意义，是各级各类考试的必考题型之一.

【关键词】 应用题；思路；解法

应用题的解决方法很多，归类解决是一种比较好的方法，我们这里主要总结工程问题的解决办法. 工程问题的基本量有：工作总量、工作效率、工作时间. （1）一般公式：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；工作总量÷工作时间 = 工作效率；工作总量÷工作效率 = 工作时间. （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：工作效率 = 1 ÷ 工作时间；工作时间 = 1 ÷ 工作效率. （3）常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和 = 总工作量；②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差 = 多用的时间.

工程问题主要表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”等工作中的时间安排.

例1 加工某种工件，甲单独工作要20天完成，乙只要10天就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务. 问乙需工作几天后甲再继续单独加工才可正好按期完成任务？

讲评：将全部任务的工作量看作整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设乙需工作x 天，则甲再继续加工（12 - x）天，乙完成的工作量为，甲完成的工作量为，依题意有 + = 1，∴ x = 8.

从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.

例2 一水池装有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水. 现在三管齐开，需多少时间注满水池？

讲评：由题设可知，甲、乙、丙工作效率分别为，，-（进水管工作效率看作正数，排水管效率则记为负数），设x小时可注满水池，则甲、乙、丙的工作量分别为，，-，三水管完成整体工作量为1，依题意有 + - =1，∴ x = 5.

所列方程为分式方程时，检验时要分两个方面，一是检验所求的解是否是原方程的解，二是检验是否符合题意.

例3 一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才完成. 现在甲乙二人合作两天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成. 若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？

讲评：设规定时间为x天，则甲单独要（x - 2）天，乙单独要（x + 3）天，甲一共做了2天，乙一共做了x天， 依题意有2 × + = 1，∴ x = 12. 经检验x = 12是原方程的解，并符合题意. 所以规定要12天完成.

1 ÷ + = 1 ÷ = 6天. ∴两人合作完成要6天.

有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法.

例4 两列火车同时从甲、乙两地同时相对开出.慢车行完全程需要20小时，快车行完全程需要10小时.开出后8小时两车相遇.已知快车中途停留1小时，慢车中途停留了几小时？

讲评：该题一看是行程问题，但没有具体的路程，可以用工程问题来解题. 把总路程看成整体1. 慢车的工作效率为，快车的工作效率为，设慢车停留了x小时. 依题意有 + = 1，∴ x = 2.

例5 一项工程甲乙两公司合作12天可以完成，共需要付施工费102000元，如果甲乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元. （1）甲、乙两公司单独完成此项工程各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成此项工程哪个公司施工费较少？

讲评： （1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天.根据题意，得 + = ，解得x = 20. 经检验x = 20是原方程的解，并符合题意. 5x = 30. 甲公司单独做用20天，乙用30天. （2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y - 1500）元. 根据题意，得12（y + y - 1500） = 102000，解得y = 5000. 甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20 × 5000 = 100000（元），乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30 × （5000 - 1500） = 105000（元）；100000元 < 105000元，故甲公司的施工费较少. 总之，题目中只出现时间量时，可以看成工程问题，解决工程问题，把整个工程当作单位1，以时间的倒数作为工效是解决问题的关键.