求一类二重积分的新定理

朱章根

【摘要】重积分是高等数学的重要内容，对其研究具有很重要的意义.很多学生对重积分理解得不够透彻，利用一题多解的思维可以提升学生的思维发散能力，值得教师们借鉴.用三种不同的解法研究一类重积分的题目，并且将其推广得出一个一般性的定理.定理叙述如下：

设函数 在区域D： 上有二阶连续偏导数，且 存在，则

其中

关键词：重积分 高等数学 积分计算

例1（北京市大学生数学竞赛赛题）：设函数 在区域D： 上有二阶连续偏导数，且 ，证明：

证法1 利用极坐标，本题的关键，是把被积函数变化成所给等式左端的形式.在半径为 的圆周 上运用格林公式得

记 为半径是r的圆周， 为 包围的区域 ， ，于是上式的内层积分，可看作是沿闭曲线 （逆时针方向）的曲线积分

于是有

由弧微分关系 ，且积分区域为0 ，因而 相当于沿着 的积分，积分方向为逆时针方向.以此上式中的积分区域 相当于 ，进而可得

其中 為 在点 处的法线方向向量，因而上式相当于沿着h点处法向量的积分.因此由格林公式可得

故

证法2 由格林公式，可导出二重积分的分部积分公式

和

其中Ω是一平面区域，?Ω为Ω的正向边界

令A= ， ； ， 利用

上述公式，得到

.

由于在边界?D上， ，所以

上式=

证法3 利用两类曲线积分的关系，由第一类曲线积分与第二类曲线之间的联系可得

，

上式中 分别为该曲线在 处的法线 与 轴以及 轴之间的夹角，又设 处的切线与x轴正向夹角为 ，则有

由前面的讨论可知

上式中 相当于 沿着与坐标轴夹角为 的单位向量的方向导数并且其为 ，而 故

继而可得

现在来讨论这种一般形式的积分，可以得出一个基础定理.

定理一：设函数 在区域D： 上有二阶连续偏导数，且 存在，则

其中

继而可得

证明：

按照证法3的思路有

继而可得

其中

求

例2：（全国大学数学竞赛赛题） 是 上二次可微函数， 满足

，计算积分 .

解：根据定理一则

结语：本文研究一类基础习题得出一个非常漂亮的定理，值得考研学生以及一线教师借鉴.关于数学解题方法是有限的但是对于学术研究却是无限的.不少学生对高等数学表示头大，提供多种解题方法可以加深对基础概念的理解，提高学生对学习方面的热情.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.微积分（下册）（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2009

[2]华东师范大学数学系.数学分析（下册）（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2010