引入数学实验的概率统计课程的两种教学模式的探讨

黄晓梅 李建耀

【摘要】在概率统计教学中引入数学实验是目前高等学校概率统计教学的趋势，本文研究和探讨了引入数学实验后的概率统计教学的两种模式：验证模式和探索模式.结合具体教学案例，文中给出了两种模式的实施过程，并分析了这两种模式对学生学习效果带来的影响.

【关键词】数学实验教学；概率统计；教学模式

【中图分类号】O211；G640【文献标识码】A

本文得到江西省高等学校教学改革研究省级课题立项资助.（课题编号：JXJG-13-2-14）

一、引言

随着计算机技术的发展，将基于数学软件的数学实验引入传统概率统计课堂已成为广大高校教师的共识.传统的数学教学模式，按照“定义→定理→推导→结论→应用”模式组织教学，该模式在培养学生抽象思维、逻辑推理、复杂计算等方面的数学能力有其特有的优势，但也存在抽象、枯燥、与实际联系不足等问题.数学实验的引入使数学课堂变得更加生动有趣，能充分调动学生的学习主动性，在培养学生兴趣，尤其是运用计算机解决实际问题的能力方面有着不可替代的优势，因此数学实验是传统课堂教学有益且必要的补充.目前关于概率统计课程如何实施数学实验已开展了不少研究工作.其中，马淑兰研究了引入实验后教师和学生的角色定位问题；孙蕾、莫达隆等给出了适合实验教学的具体案例，刘铭等构建了实验教学体系.本文尝试从教学模式角度，研究了引入数学实验后概率统计课堂教学应该如何开展，分析了各种教学模式的特点与优点，并给出具体案例进行说明.

二、数学实验的目的与作用

关于开展数学实验教学的目的，不同高校有不同的侧重点.李尚志教授认为数学实验的目的是从问题出发，借助计算机，通过学生亲自设计和动手，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律.其作用是“开胃汤”，激发学生进一步深入学习数学理论的兴趣和愿望.清华大学姜启源教授则把数学实验与数学建模结合在一起，使学生通过数学软件做实验，学习解决实际问题的数学方法，提高数学兴趣、意识和能力.这两种观点，前者偏重于激发兴趣、培养探索和研究精神，后者偏重于学习软件技术和数学方法、培养解决实际问题的能力.

三、教学模式探索

基于上述目的，结合教学实际，笔者认为在传统概率统计课堂中引入数学实验可以有以下两种基本的教学模式.

1.验证模式

验证模式是指在讲授新课后，通过数学实验进一步验证所学知识的原理和问题结论的正确性、或对某一抽象理论给出具体形象的演示.其流程如图1所示.

图1验证模式流程图

这种实验模式的教学效果是可以加深学生对抽象理论知识的理解，减少学生学习数学的畏难情绪，增强他们学习数学的信心.下面举例说明这一模式的具体实施.

案例1各种常见概率分布图形

在介绍概率统计常见分布时（如二项分布、指数分布、正态分布等），常需要在黑板上画出各分布的密度函数和分布函数曲线图形，并分析各参数对函数曲线图形的影响.在理论分析完毕后，可以引入数学实验.如，借助Matlab数学软件提供的disttool指令.该指令会弹出一个常见概率分布的交互式界面，该界面上提供了20种常见分布的密度函数和分布函数曲线的图形，对每种分布图形，可以通过改变界面上的参数设置，动态、直观地感受参数对函数曲线的影响.操作简便，省时省力.

案例2频率的稳定性与波动性

在解释频率的稳定性与波动性概念时，通常做法是以历史上多位数学家做过抛硬币的实验为例，让学生阅读教材上列举的实验结果.这样的方式非常枯燥，远不如亲自实验来得生动有趣.例如，可以利用Matlab编程语言编制一个程序，模拟投硬币的过程，在此过程中让学生一次次地增加抛硬币的次数，观察每次实验正面朝上的频率.通过实验，学生自然对什么是频率的稳定性与波动性有了深刻的理解.由于获取知识的过程是学生主动参与，获得的知识又是具体直观的，于是学生对此类知识印象深刻，不易遗忘.

案例3蒙特卡罗方法计算定积分

蒙特卡罗方法是利用概率统计方法来进行数值计算的方法.其理论依据之一是大数定律.课堂上在讲授完大数定律之后，可以介绍蒙特卡罗方法计算定积分.首先介绍蒙特卡罗方法的思想，推导出计算公式.然后再利用数学软件在计算机上模拟该方法的实现.学生通过该实验一方面加深了对大数定律的理解，了解了大数定律的应用；另一方面拓展了知识面，学习到概率统计在其他领域中的应用.

2.探索模式

探索模式是指在讲授新课之前，利用计算机软件创设出问题情境，学生通过实验观察实验结果，对潜在的数学规律给出猜想，再通过数学理论的分析及证明，给出支持或否定该猜想的论证，最后得出结论.其流程如图2所示.

图2探索模式的教学流程

这种实验模式事先不给出相应的理论和结论，而是通过实验，让学生自己探索发现数学规律，激发学生的好奇心，从而激发学生进一步学习数学理论的愿望.学生在此过程中获得的是探索数学规律的经验和乐趣，对理论的学习从被动变为主动，从不知其所以然到知其所以然，学习的效果无疑大大增强了.这种实验模式体现的是归纳法教学的教育思想.

案例4中心极限定理

中心极限定理因为其内容的抽象性是概率统计课程教学的一个难点.在讲授该定理前，可以先做几个实验，让学生观察实验的结果，对实验结果给出自己的猜想.在激发学生求知欲望的基础上，引出定理的介绍，然后用该定理对实验结果进行证明，对实验现象进行解释.本文总结出以下三个可以借鉴的实验.

第一个实验是经典的高尔顿钉板实验.通过计算机软件编制程序，模拟圆珠落地所堆成的曲线的形状.同时程序提供参数，可以改变钉板上钉子的排数以及圆珠向左或向右滚动的概率.学生通过大量的实验，观察上述操作带来的曲线形状的变化，猜想出圆珠落地坐标所服从的概率分布.

第二个实验是投掷骰子实验.利用数学软件模拟同时投掷n颗骰子，计算出投掷后所得n颗骰子的点数之和，绘出点数之和的分布曲线图，通过改变n，猜想点数之和服从的概率分布.

第三个实验是在区间[0，1]内产生n个服从均匀分布的随机变量的值，计算这n个随机变量的和，绘出这个和的分布曲线图，通过逐渐增大n，猜想这个和服从的概率分布.

通过上述实验，学生容易给出猜想：上述实验中涉及的问题服从的分布似乎都是正态分布.接下来自然会产生愿望去寻求解释这一现象的原因.此时，教师给出中心极限定理的介绍，然后让学生自己用中心极限定理对上述猜想进行论证与说明，最后得出上述实验现象的解释.相信这样一堂课后，学生对中心极限定理会有深刻的理解和印象，同时也体会到探索发现并证明的乐趣.

四、结论

本文结合具体案例，探讨了概率统计课堂引入数学实验后的两种教学模式，一是验证模式，二是探索模式.通过上述研究，可以发现引入数学实验后的概率统计教学比传统教学更能调动学生的学习积极性，激发他们的学习兴趣，学到的知识更具体生动、贴近实际.在实施数学实验的教学过程中值得注意的是，传统课堂的主导地位不可动摇.要避免出现过度依赖数学软件，用直观形象代替抽象理性思维的倾向.此外，在课时有限的条件下，理论教学与实验教学的课时如何分配，教材各知识点如何组织，也有待进一步深入研究.

【参考文献】

[1]马淑兰.概率论与数理统计课程教学中引入数序实验的尝试和思考[J].内江师范学院学报，2013，28（10）：83-86.

[2]孙蕾，谷德峰.概率论与数理统计实验教学案例设计[J].高等数学研究，2014，17（1）：100-102，122.

[3]莫达隆.概率统计中随机模拟实验的设计——兼谈eviews随机数发生器的使用[J].福建教育学院学报，2012，8（4）：119-121.

[4]刘铭，董小刚，李慧玲.构建概率论与数理统计课程实验教学体系[J].吉林省教育学院学报，2008，9（24）：45-46.

[5]李尚志，陈发来，张韵华，吴耀华.数学实验（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[6]姜启源，谢金星，邢文训，张立平.大学数学实验（第二版）[M].北京：清华大学出版社，2010.