“圆锥曲线”中的最值问题解法例谈

武世起

圆锥曲线是解析几何的核心内容，而有关最值问题又是综合性较强、与不等式、函数密切相关，体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系.学生在解题时，存在许多思维障碍或运算问题，本文就此类问题的解法进行梳理，希对学生解题有所帮助.

一、几何法

例1（1）抛物线C：y2=4x上一点P到点A（3，42）与到准线的距离和最小，则点P的坐标为；（2）已知椭圆x212+y23=1和直线l：x-y+9=0，在l上取一点M，经过点M且以椭圆的焦点F1，F2为焦点作椭圆，求长轴最短时椭圆方程.

解（1）连PF，当A，P，F三点共线时，AP+PH=AP+PF最小，此时AF的方程为y=22（x-1），代入y2=4x得P（2，22）.

（2）由椭圆方程x212+y23=1，得F（-3，0）1，F2（3，0），可求出F1关于l对称点F′1坐标为（-9，6），过F′1F2的直线方程：x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M（-5，4），即过M的椭圆长轴最短.由|MF1|+|MF2|=2a，得2a=65，所求椭圆方程为x245+y236=1.

二、函数值域求解法

例2若点O和点F（-2，0）分别是双曲线x2a2-y2=1（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP·FP的取值范围为（）.

A.[3-23，+∞）

B.[3+23，+∞）

C.-74，+∞

D.74，+∞

解因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，故双曲线方程为x23-y2=1，设点P（x0，y0），则有y20=x203-1（x0≥3），因为FP=（x0+2，y0），OP=（x0，y0），所以OP·FP=x0（x0+2）+y20=4x203+2x0-1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-34，因为x0≥3，所以OP·FP取得最小值43×3+23-1=3+23，故OP·FP的取值范围是[3+23，+∞）.

三、不等式法

例3已知点A（0，-2），椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.

（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

解（1）设Fc，0，由条件知2c=233，得c=3，故E的方程x24+y2=1.

（2）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx-2，设Px1，y1，Qx2，y2，将y=kx-2代入x24+y2=1，得1+4k2x2-16kx+12=0，当Δ=16（4k2-3）>0，即k2>34时，x1，2=8k±24k2-31+4k2，从而PQ=k2+1x1-x2=4k2+1·4k2-31+4k2.又点O到直线PQ的距离d=2k2+1，所以△OPQ的面积S△OPQ=12dPQ=44k2-31+4k2.设4k2-3=t，则t>0，S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤1.

当且仅当t=2，k=±72等号成立，且满足Δ>0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=72x-2或y=-72x-2.

四、不等式（组）求解法

例4橢圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且AP=3PB.

（1）求椭圆C的方程；（2）求m的取值范围.

解（1）易解得椭圆方程为y2+2x2=1.

（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+m，2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，Δ=4（k2-2m2+2）>0，（*）x1+x2=-2kmk2+2，x1x2=m2-1k2+2.因为AP=3PB，所以-x1=3x2，所以x1+x2=-2x2，x1x2=-3x22，所以3（x1+x2）2+4x1x2=0.

所以3·-2kmk2+22+4·m2-1k2+2=0.整理，得4k2m2+2m2-k2-2=0，即k2（4m2-1）+（2m2-2）=0.

当m2=14时，上式不成立；当m2≠14时，k2=2-2m24m2-1，由（*）式，得k2>2m2-2，解得m的取值范围为-1，-12∪12，1.