幂函数中论数学学习力提升

丁伟伟

【摘要】结合心理学原理及新课程标准要求，以幂函数教学中三个片段为例，浅谈如何从激发学习动机、训练抽象思维、领悟数学思想方法三个方面来提升高中生的数学学习力.

【关键词】学习力；学习动机；抽象思维；思想方法；幂函数

目前数学课堂出现了教师教的苦，学生学的累的现象，甚至网上出现了“让数学滚出高考”的呼声.如何改变学生学数学的这种现状？提升学生的学习力势在必行.笔者认为数学学习力的提升离不开学习动机、抽象思维的训练及数学思想方法的领悟这三个方面.主要原因有：一、动机是引起并维持人们从事某项活动，以达到一定目标的内部动力，所以激发学习动机可以积极推动数学学习的进行；二、抽象思维是人们在认识活动中运用概念、判断、推理等思维形式，对客观现实进行间接的、概括的反映过程，它是发现事物本质的核心思维.而数学的特点之一就是其抽象性，所以训练抽象思维可以提升数学学习力；三、数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，它是建立数学和用数学解决问题的指导思想，数学方法是数学思想的具体化形式，它为数学思维活动提供具体的实施手段，通常将二者混称为“数学思想方法”.因此，掌握了数学思想方法，才是真正领悟了数学的精髓，才能有效解决数学问题，数学学习力的提升也就不在话下.本文以幂函数教学片段为例，浅谈下数学课堂上如何从这几个方面提升数学学习力，以期抛砖引玉.

片段一：创设与认知冲突的“境”，激发学习动机

师：函数是刻画现实生活中两个变量之间相互制约关系的模型，到目前为止，我们学习了哪些函数模型？

生：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数.

师：请同学们回答下列问题，并指出函数类型.

问题情境：

1.某人购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付的钱数y为多少？

2.正方形边长为x、面积y为多少？

3.正方体棱长x、体积y为多少

4.正方形场地的面积为x、那么它的边长y是多少？

5.某人xs内匀速行进了1km，他的速度y（km/s）是多少？

生：y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1，它们分别是一次函数、二次函数、三次函数（学生有点胆怯）、无声音、反比例函数.

心理学上，认知冲突是指认知主体已有认知结构与新知识或新情境之间不能包容，或不同认知主体对某一问题存在不同看法的现象.前种情况可称之为主体内认知冲突，后种情况可称之为主体间认知冲突.当发生认知冲突时，个体的求知欲就会激发学习动机.

结合这一心理学原理，本节课并没有像教材那样直接抛出一个幂函数的例子，因为这样学生会觉得陌生、突兀、没有动力.笔者选用了五个函数例子：其中一次函数、二次函数、反比例函数符合学生原有认知结构，这样设计可以充分调动学生已有的认知经验，有利于对新知识的同化，但是两个未知函数与熟悉函数在形式上的相似之处让学生口欲言而不能，此时学生感到已有知识不够用，想要去调整、改组，形成新的认知，变“要我学”为“我要学”.

片段二：经历概念形成，训练抽象思维

师：请观察上述五个函数y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1在形式的共同点，能否用一个一般的式子概括出？

生：y=xα

师：这是不是我们学过的函数呢？

此时班里先呈现出指数函数的声音，然后呈现出另外一波否定的声音.随即教师带领学生回忆指数函数定义，发现彼此的本质区别是：自变量所在的位置不同.甚至有同学大胆的给新函数取名为“底函数”，可见学生的大胆创新意识.

《高中数学新课程标准》课程标准的基本理念中还明确提出要注重提高學生的数学思维能力，其中包括抽象概括、符号表示等，而这些能力都离不开抽象思维.如何在平时教学中训练这种思维呢？笔者化难为宝，充分利用数学概念的抽象性.通过教师启发式的提问，让学生自己发现五个幂函数在形式上的统一性，从而用一个式子概括出.这个追求形式美的过程不仅让学生亲身经历幂函数的形成，也训练了学生的抽象思维.很多教师可能在平时教学中忽略了概念形成过程的重要性，而“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”——中国科学院李邦河院士（数的概念的发展.《数学通报》，2009，8）.

片段三：自主探究，领悟数学思想方法

师：接下来我们要研究幂函数的什么呢？

生：定义域、值域、单调性、奇偶性、图像.

师：怎么研究呢？

生：描点画图.

此时同学已动手开始画图，巡视过程中，很多同学们选了点（1，1）后，无法再继续取点.此时，教师适当提示：

师：同学们，回忆下我们当时是怎么得出指数函数图像特征的呢？

生：画具体的函数，找到规律.

师：很好.幂函数是一类函数，α取值不同就是不同的幂函数，所以也应该从特殊幂函数入手，然后归纳总结.（此时教师在黑板上扮演出：研究一类函数的方法：特殊→一般）

师：如果拿到了具体的幂函数，它的哪些性质可以由解析式很容易得出呢？

生：定义域、奇偶性.

说明：（此处略去由函数解析式写出定义域和奇偶性的例子）

师：由函数解析式是否容易得出单调性呢？

生：不容易看出.

师：大纲要求我们必须掌握本节可开头的五个幂函数的图像及性质.我认为同学完全有实力自己完成这个任务.

学生活动：在同一坐标系中，画出y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x12，并完成下表.（表略）

师：刚刚在巡视同学们画图时，发现甲同学画的最快，可不可以说说你怎么画图的呢？

甲同学：对于有奇偶性的函数，我只画出了第一象限的图像，然后对称得出整个函数的图像.

此时班里发出了一阵哦的声音，看来很多同学十分欣赏甲同学的做法.

师：同学们已经有了用图像研究函数性质的意识，也要知道利用函数性质来提高画图的效率，这就是我们数学上数形结合的思想.（教师黑板扮演出数形结合的思想）

师：幂函数图像在第一象限均有分布，接下来我们主要研究第一象限的规律.由上述五个幂函数图像，你能归纳出在第一象限一般幂函数图像的特征及单调性吗？

学生通过观察发现要对α进行分类讨论，但很多学生忽略了α=0，教师通过追问，最终补全了分类.

《高中数学新课程标准》的基本理念中指出“数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法”.因为数学思想方法是要亲身体验、感受、概括，而不是靠告诉所能內化的.

所以，在探索幂函数性质这一环节，先是学生画图遇到困难，通过教师适当提示，学生类比了指数函数研究过程，发现了特殊到一般的方法.在数形结合这块，教师故意不提示学生借助奇偶性，目的就是让学生在动手操作后，通过对比感受到数形结合的好.在分类讨论这块，教师也只是适当追问，让学生补充完所有情形.经过自主探索，学生掌握的不仅是幂函数的性质，由课堂小结反馈发现，学生还自己总结出了思想方法层面的领悟：研究新函数的方法：特殊到一般；数形结合、分类讨论及类比思想.

总之，要提升高中生数学学习力，教师应该充分了解学生知识结构，理解数学学科的特点（抽象性及重思维），结合心理学原理，从以下三个方面入手：

对于学习动机的激发，可以创设与学生已有认知相冲突的问题情境，让学生感受到所学知识不够用，从而产生要学的动机.如何创设好这种情境，需要教师熟悉教材内容，了解新旧知识间的联系及学生已有的认知结构，让新的学习内容与学生已有水平之间构成一个适当的跨度.

对于抽象思维的训练，笔者认为要重视概念形成教学，充分发挥数学是思维的科学的特点.的确，有些数学概念的形成经历了几百年历史，怎么可能在课堂短短几十分钟内就经历完？所以这时就要发挥教师的主导作用，通过精心设计及启发式的提问，例如片段二中：请观察上述五个函数在形式的共同点，能否用一个一般的式子概括出？给学生指明一个方向，让学生概括抽象出一般形式.

而对于思想方法的掌握，笔者深信没有经历、感受、概括，学生是无法领悟的.所以课堂教学过程中，要多放手让学生去探究，即使一开始他们误入了“歧途”，也不要急于告诉，适当时点拨，效果会更好.例如：片段三中当学生甲说出他借助奇偶性画图后，底下发出的那一声“哦”，还不足以说明数形结合的美在他们心中留下的深刻印象吗？如果直接告知学生还会有这种对比感吗？所以，教师在平时备课中，要深挖教材中蕴含的思想方法，并将其巧妙的融入教学中.

当然学习力的提升不是一蹴而就的，不仅需要教师的熏陶和培养，也需要学生的模仿和自我训练.

【参考文献】

[1]姚本先.心理学[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]刘海峰.学习力[M].北京：中国华侨出版社，2008.