一道积分不等式的多种证明方法

赵琳

【摘要】从单调连续函数的性质出发，利用积分中值定理、积分不等式性质、构造函数等方法给出一道积分不等式的五种证明方法。

【关键词】不等式；中值定理；单调；连续

数学分析中有这样一道题目：设函数 在 上单调递增且连续，证明

證法一：因为函数 在 上单调递增且连续，根据积分第一中值定理^【1】，存在 ，使

所以 .

证法二：因为函数 在 上单调递增且连续，根据积分第二中值定理^【1】，存在

，使

所以 .

证法三：因为函数 在 上单调递增且连续，所以

，

于是

所以 .

证法四：因为函数 在 上单调递增且连续，所以

于是

从而

即

所以 .

证法五：因为函数 在 上单调递增且连续，令函数

则 ，在 上可导，且

所以函数 在 上单调递增且连续，于是

取 ，则 .

令 ，得

参考文献：

【1】华东师范大学数学系.数学分析（上册）【M】.3版，北京：高等教育出版社，2010，217-224.