分部积分法求不定积分的若干准则

赵继红

【摘要】通过探讨分部积分法在处理几类特殊函数的不定积分中的若干准则，为学生利用分部积分法求不定积分提供有效便捷的思路，帮助学生理解求不定积分过程中分部积分法的本质及其巨大功效.

【关键词】高等数学; 不定积分;分部积分法

【中图分类号】O13;O172.2 【文献标识码】A

【基金项目】 西北农林科技大学陕西省专项配套基金（Z109021118）.

不定积分求解方法的核心是换元积分法和分部积分法.相比较换元积分法而言，分部积分法是由两个函数乘积的微分运算法则推得的一种求积分的基本方法，主要解决被积函数是两类不同函数乘积的不定积分.具体地说，将两个函数乘积的微分公式d（uv）=udv+vdu改写成udv=d（uv）-vdu，则两边积分可得

∫udv=uv-∫vdu

（*）

这就是求不定积分的分部积分公式[1，2].上述公式表明：对于一个形如∫udv的不定积分，如果它本身不好计算，但是∫vdu却容易计算，则通过公式（*），不易求解的积分∫udv的计算就可以转化为较易求解的积分∫vdu的计算.

有关讨论分部积分法求不定积分教学研究和解题方法的文章已经有很多，读者可以参考文献[3，4，5].由分部积分公式（*）可知，利用分部积分法求不定积分时我们主要考虑以下两点：

（1）u和dv的选取是关键;如果u和dv的选取不当，就可能使得求解变得更困难，从而求不出结果;

（2）∫vdu要比∫udv易求解.

依据上面两点，我们提出利用分部积分法处理下面五类两个函数乘积的不定积分时选u的若干准则，供同学们学习参考.假设P（x）和Q（u，v）是任意多项式函数，并设a，b为任意实数，k，n为任意正整数.

一、 ∫P（x）sin（ax）dx或∫P（x）cos（ax）dx，即多项式函数和三角函数乘积的不定积分，在分部积分公式（*）中我们选u的准则为“三多选多”.

例1 求∫x2cos（ax）dx

解 根据“三多选多”的准则，我们选u=x2，从而dv=cos（ax）dx=1ad（sin（ax）），利用分部积分公式（*）可得，∫x2cos（ax）dx=1a∫x2d（sin（ax））=1ax2sin（ax）-∫sin（ax）d（x2）=1ax2sin（ax）-2∫xsin（ax）dx.

注意到上式最后一项中∫xsin（ax）dx仍然是多项式函数和三角函数乘积的不定积分，所以仍然适用“三多选多”的准则，从而∫x2cos（ax）dx=1ax2sin（ax）-2∫xsin（ax）dx=1ax2sin（ax）+2a∫xd（cos（ax））=1ax2sin（ax）+2axcos（ax）-∫cos（ax）dx=1ax2sin（ax）+2axcos（ax）-2a2sin（ax）+C.

注：上题中我们连续应用了两次分部积分法.一般来说，对于形如∫xkcosaxdx或者∫xksinaxdx的不定积分，可以依据“三多选多”的准则应用多次分部积分法进行求解.

二、 ∫P（x）eaxdx，即多项式函数和指数函数乘积的不定积分，在分部积分公式（*）中我们选u的准则为“指多选多”.

例2 求∫x2eaxdx

解 根据“指多选多”的准则，我们选u=x2，从而dv=eaxdx=1ad（eax），利用分部积分公式（*）得，∫x2eaxdx=1a∫x2d（eax）=1ax2eax-∫eaxd（x2）=1ax2eax-2∫xeaxdx.

注意到上式最后一项中∫xeaxdx仍然是多项式函数和指数函数乘积的不定积分，所以仍然适用“指多选多”的准则，从而∫x2eaxdx=1ax2eax-2∫xeaxdx=1ax2eax-2a∫xd（eax）=1ax2eax-2axeax+2a∫eaxdx=1ax2eax-2axeax+2a2eax+C.

注：一般来说，对于形如∫xkeaxdx的不定积分，可以依据“指多选多”的准则应用多次分部积分法进行求解.

三、 ∫P（x）lnnxdx，即多项式函数和对数函数乘积的不定积分，在分部积分公式（*）中我们选u的准则为“多对选对”.

例3 求∫xkln2xdx

解 根据“多对选对”的准则，我们选u=ln2x，从而dv=xkdx=1k+1d（xk+1），利用分部积分公式（*）得，∫xkln2xdx=1k+1∫ln2xd（xk+1）=1k+1xk+1ln2x-∫xk+1d（ln2x）=1k+1xk+1ln2x-2∫xklnxdx.

注意到上式最后一项中∫xklnxdx仍然是多项式函数和对数函数乘积的不定积分，所以仍然适用于“多对选对”的准则，从而∫xkln2xdx=1k+1xk+1ln2x-2∫xklnxdx=1k+1xk+1ln2x-2k+1∫lnxd（xk+1）=1k+1xk+1ln2x-2k+1xk+1lnx+2k+1∫xkdx=1k+1xk+1ln2x-2k+1xk+1lnx+2（k+1）2xk+1+C.

注：一般来说，对于形如∫xklnnxdx的不定积分，可以依据“多对选对”的准则应用多次分部积分法进行求解.

四、 ∫P（x）arcsinxdx，∫P（x）arccosxdx或∫P（x）arctanxdx，即多项式函数和反三角函数乘积的不定积分，在分部积分公式（*）中我们选u的准则为“多反选反”.

例4 求∫xarctanxdx

解 根据“多反选反”的准则，我们选u=arctanx，从而dv=xdx=12d（x2），利用分部积分公式（*）得，∫xarctanxdx=12∫arctanxd（x2）=12x2arctanx-∫x2d（arctanx）=12x2arctanx-∫x21+x2dx=12x2arctanx-∫1-11+x2dx=12x2arctanx-x+arctanx+C.

注：一般来说，对于形如∫xkarcsinxdx，∫xkarccosxdx或∫xkarctanxdx的不定积分，可以应用分部积分法结合第一类换元积分法进行求解.

五、 ∫Q（sinbx，cosbx）eaxdx，即由正余弦构成的多项式函数和指数函数乘积的不定积分，在分部积分公式（*）中我们选u的准则为“指弦任选”.

例5 求∫eaxcos（bx）dx

解 根据“指弦任选”的原则，我们既可以选取u=eax，也可以选取u=cos（bx）.

法一、选取u=eax，从而dv=cos（bx）dx=1bd（sin（bx）），利用分部积分公式（*）得，

∫eaxcos（bx）dx=1b∫eaxd（sin（bx））=1beaxsin（bx）-∫sin（bx）d（eax）=1beaxsin（bx）-a∫eaxsin（bx）dx.

注意到上式右端仍然是指数函数和正弦函数乘积的不定积分，所以我们需要再次使用分部积分法，但此时应注意选取u的准则一定要和第一步一致，即第一步中我们选取的u为指数函数，则第二步必须也要选取u=eax，我们有

∫eaxcos（bx）dx=1beaxsin（bx）-a∫eaxsin（bx）dx=1beaxsin（bx）+ab∫eaxd（cos（bx））=1beaxsin（bx）+abeaxcosbx-a2b∫eaxcos（bx）dx.

最后，我们有

∫eaxcos（bx）dx=ba2+b2eaxsin（bx）+abeaxcos（bx）+C.

法二、选取u=cos（bx），从而dv=eaxdx=1ad（eax），利用分部积分公式（*）得，

∫eaxcos（bx）dx=1a∫cos（bx）d（eax）=1aeaxcos（bx）-∫eaxd（cos（bx）=1aeaxcos（bx）+b∫eaxsin（bx）dx=1aeaxcos（bx）+ba∫sin（bx）d（eax）=1aeaxcos（bx）+baeaxsin（bx）-b2a∫eaxcos（bx）dx.

所以

∫eaxcos（bx）dx=aa2+b2eaxcos（bx）+baeaxsin（bx）+C=ba2+b2eaxsin（bx）+abeaxcos（bx）+C.

注：一般来说，对于形如∫eaxsink（bx）dx或者∫eaxcosk（bx）dx的不定积分，首先通过三角函数的倍角公式，积化和差公式将其化为形如例5的形式，再利用分部积分法进行求解.

利用分部积分法求解不定积分，上述五类准则只是具有指导性的准则，更多的时候，在具体题目中需要我们结合换元积分法和分部积分法进行求解.而掌握分部积分法求不定积分技巧的方法只有通过大量地做练习来实现.希望同学们在学习的过程中，多动脑筋，灵活主动地应用各种办法来计算各种各样的不定积分，而不是硬记公式，死搬硬套.也只有这样，才能深刻理解分部积分法求解不定积分的本质和内涵，更重要的是达到开阔思维，启迪智慧的目的.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析：上册[M].3版.北京：高等教育出版社，2002：184-185.

[2]同济大学数学系.高等数学：上册[M].7版.北京：高等教育出版社2014：208-212.

[3]朱孝春.一元函数不定积分中换元积分法与分部积分法的教学研究[J].数学教学研究，2011，30（11）：51-56.

[4]罗琼.不定积分的分部积分法教学浅谈[J].商丘职业技术学院学报，2012，11（5）：15-18.

[5]上宏昌.关于不定积分的分部积分法运算技巧[J].廊坊师范学院学报，2014，14（4）：19-22.