一道不等式题解法的再探究

朱允洲

【摘要】含参的一元二次不等式问题是高考中常考的问题，也是困扰学生的一个难点.数形结合是数学学习过程中常用的思想方法.本文通过分离参数，降幂的方式先对原不等式变形，再借助于函数或方程图像对原不等式问题求解.

【关键词】不等式;分离参数;降幂;函数图像

文[1]中作者给出了如下不等式的求解过程：

题目 已知关于x的不等式（2x-1）2

作者用代数的方法和数形结合两种方法对该问题进行了求解.众所周知，数形结合是数学中经典的“数”与“形”相互转化的思想方法，是解题过程中最常用的基本方法之一，也是高考必考的思想方法.本文从不同于[1]的角度将原不等式等价变形，转化为两个函数（方程）图像之间的关系进行求解.

x （-∞，0） 0，1 2 1 2 1 2，+∞

f′（x） f′（x）>0 f′（x）<0 f′（x）=0 f′（x）>0

f（x） 增函数 减函数 极小值0 增函数

由不等式（2x-1）20，x≠0.

解法1 分离参数得：a>1x-22 ①，

设f（x）=1x-22，则f′（x）=2（2x-1）x3，据此画出函数f（x）=1x-22的图像（如图1），不等式 ①可转化为：函数y=f（x）与常函数y=a相交且位于其下方的图像对应的x有三个整数解，因为f（3）=259，f（4）=4916，据图像可知：只需f（3）

N个整数解及无数个整数解时a的取值情况.

解法2 不等式（2x-1）2x-12x ②，记k（x）=1-12x，

其图像（如图2），当x<0时，k（x）∈（1，+∞），如果a2>1，则据图像知②

有无穷多个解，不合题意;当012时，k（x）∈（0，1），由图像可知：不等式②有三个整数解它们只 能是1，2，3，又k（3）=56，k（4）=78，所以a2∈（56，78]，即259

解法3 不等式 （2x-1）2

x-12     画出它们的图像（如图3），y=f（x）的图像是确定的，

y=g（x）图像关于y轴对称，且是变化的，要使③的解集中有3个整数解，由图像可知：0

通过对此不等式求解的研究，启示我们日常教学中要多重视和引导学生对数形结合思想方法的应用，尤其是选择题和填空题，可以提高解题的效率.以上解法对原不等式进行了分离参数、降幂等一系列等价变形，画出相应函数的图像，实现了以形助数的效果，降低了问题的难度.借助于数学问题的几何直观，有助于对数学问题本质的理解，提高学生对问题求解的正确率;同时可以培养学生对数学问题探究的兴趣，发展他们的思维提升其解题能力.

【参考文献】

[1].高进，杨国祥.一道不等式题的解答历程.中学数学教学参考，2012年第3期（上旬）29-30.