《高等数学》课程中若干思想方法的渗透

鲁翠仙

【摘要】在高等数学教学中渗透数学思想方法，可以使学生掌握数学知识的同时掌握继续学习的方法，从而提高学生的数学能力、可持续发展能力、终身学习能力和创造力，使他们受益终身，本文给出在高等数学教学中渗透的数学思想方法.

【关键词】高等数学;教学;数学思想方法;渗透

【基金项目】本文系2013年校级科研课题“临沧师专高等数学教学改革与实践探讨”的阶段性成果

一、数学思想

数学思想、方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是层出不穷的数学发现的源泉.可以说数学的发展史是一部生动的数学思想的发展史，它深刻的告诉我们：数学思想、方法是数学的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略.

二、《高等数学》课程中的若干思想方法

1.抽象性的思想方法

从具体到抽象是高等数学发展的一个重要思想之一，具体的实例是抽象思维的源泉，高等数学中的级数、多元微积分、隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分等都是比较具体的，但其中很多概念还是比较抽象的，比如我们要解决何谓瞬时速度及怎样求出瞬时速度这两个问题，先引出：V=limΔt→0ΔSΔt，其次我们引出了导数的定义式f′（x）=limΔx→0fx+Δx-f（x）Δx，从这些具体的对象出发形成了一般的对象.通过对高等数学中概念抽象思维方法的学习和掌握，有利于培养学生的抽象思维能力，也正是学科的严谨抽象性，才客观、正确、深刻地反映事物的本质和自然属性，学生只有熟悉、接受和深刻理解这种抽象，他们的思维才会发展起来，实际问题才能得到解决.

2.辩证思维的思想方法

世界是遵循不以人们意志转移的辩证规律发展变化的，数学又是关于现实世界空间形式和数量关系的科学，因此它必然充满辩证的思想.在高等数学课程中将教材与辩证的思想方法有机结合，无疑大大的提高了教师的教学质量和学生的素质.有限可以穷尽，无限是由无数个有限构成，无限不可穷尽，无限只有通过有限来存在，在高等院校高等数学中凡与无限相关的概念，都是有限与无限对立统一的反映，要认清其中的概念及其本质.另一方面数分中常量与变量，为了计算定积分，首先引进变上限的定积分∫mnf（x）dx是f（x）的一个原函数（即把转化变量）然后用它的一个原函数在点n，m处值的差计算，这个过程也就是常量与变量的辩证关系.

3.转化与化归思想方法

将难以解决的问题及未知的解法，通过类比、观察分析、联想等思维的过程，选择应用恰当的数学方法进行变换、化归为已知知识范围内易解决或者已经解决的思想叫做转化与化归的思想，它是数学中最基本的思想方法.函数与方程，数形结合都是转化与化归思想的具体体现，待定系数法、分析法等都是转化的手段，将抽象的问题转化为直观、具体的问题，将难解和不熟悉的问题转化为已经解决或熟悉的问题，将实际问题转化为数学问题的解决方法，将一般转化为直观特殊的问题，将复杂转化为简单的问题，都是转化与化归原则.在讲授定积分在几何上的应用时，我们应该始终抓住分割、取近似、求和、取极限这四个步骤，将这些物理量和几何量转化为已知函数在某个区间上的和式极限，通过计算积分值得到所求的量.

4.公理化的思想方法

数学理论体系当中，尽可能少地选取不加证明的公理和原始概念，以此为出发点，利用逻辑的推理法则，在此基础上建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法.在数学史上，利用公理化的思想对公理化系统进行逻辑的推理、演绎以及进一步的抽象概括，实现对公理化系统进行改造，使其完备化，高等数学的理论系统就是建立在公理基础上的逻辑演绎的科学理论体系.公理化的思想方法具有总结、分析知识的作用，可以把零散的数学知识用逻辑链串联起来，使之完整，让人易掌握，更便于应用，在教学中加强公理化思想方法的教育，培养了学生的求实精神，并激发他们对简洁美、抽象美以及统一美的追求.

5.数学建模的思想方法

数学建模如果一定要下一个定义的话，可以说它是一种数学的思考方法，是“对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化或符号的表示”，从科学、工程、经济、管理等角度看数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具.数学应用题就是最简单一类数学建模问题，涉及了数学建模思想方法的一般过程，而高等数学课程的各个章节的理论学习之后，都有一些实际应用题，我们要引导学生加以分析，解决实际问题.这样既让我们的学生了解数学建模的方法步骤，也能体会到数学在解决实际问题中的重要作用，同时贯彻了理论中与实际问题相结合的原则并培养提高了学生分析和解决问题的能力.

6.数学语言和符号的思想方法

高等数学由于其学科的特殊性，使它具有含义精准、词语丰富、逻辑严谨的语言符号.数学的语言和符号为科学研究提供了精准简洁的形式化语言，每一种数学思想和方法都是数学家经过数学或其他学科的具体问题抽象概括为“纯粹”的数学语言符号，借助于已知数学知识和方法进行分析、运算和推导，获得重要的启迪和认识，然后再将这些结果返回到数学的相关问题中，比如《高等数学》中的二重积分、定积分、导数等等就是把曲顶柱体的体积以及物理学中的非匀速直线运动，变力所做的功，几何学中曲边梯形的面积，平面曲线切线的斜率这些“纯粹”的数学语言和符号，通过各种数学的量，量的关系以及变化之间进行一系列的推导演算，获得的一些重要的结果.也正是由于其抽象概括和分析，推导的过程中没有客观事物的任何本质属性，所得的结果适用于一切具有共同前提的所有问题中，它不仅简明扼要，而且表达的内容深刻，是其他任何语言都无法取代的，在教学过程中，学生要深刻理解，并懂得数学语言并学会把问题用数学的语言和符号表达出来，然后再求解.

7.有限到无限的思想方法

高等数学课程中数列的极限集中体现了有限与无限的思想，在引出这一概念时，数学家刘徽利用了割圆术，而刘徽则说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，他们使用了极限的思想方法来解决了数学中的问题.定积分的概念也是通过不规则曲边梯形的面积引入的，在此过程中，我们利用了对曲边梯形的面积的形象思维，从中抽象出每一个小曲边梯形的面积可以通过矩形面积近似计算，从而推广到无限个的情况，从中我们深刻体会到“无限细分，无限求和”这一数学思想.只有这些数学思想的渗透，学生才能深刻地对数学有更深层次的认识，才有在学习二重积分，三重积分时的迎刃而解，而且以后虽然用不到这些具体的数学知识，但这种数学的思想方法仍会根深蒂固，指导了学生思考其他的学科问题，同时让学生感受到了数学美.

8.换元的思想方法

所谓换元思想即是把某些代数式看成一个新的未知数来实现变量的替换，其本质也就是实现转化，通过转化能够实现化难为易，化繁为简，化陌生为熟悉.

例 计算以圆域D：x2+y2≤a2为底，D上的曲面是z=e-x2+y2的曲顶柱体的体积.

分析 本题如果直接在直角坐标系下化为累次积分计算，就不能用积分的基本公式积出，所以必须另辟蹊径，采用换元思想求解.

解 已知曲柱体的体积v=De-x2+y2，

在直角坐标系下，D={（x，y）x2+y2≤a2}，设x=rcosθ，y=rsinθ;它将圆域D：x2+y2≤a2变换为D0≤r≤a，0≤φ≤2π

在极坐标系下;D={（x，y）|0≤r≤1，0≤θ≤2π};且（x，y）rφ=r

由公式可得：

v=De-x2+y2dxdy=De-r2rdrdφ=∫2π0dφ∫a0e-r2rdr=2π-12e-r2a0=π1-e-a2.

9.极限的思想方法

所谓的极限思想就是用极限的概念来分析和解决问题的一种数学思想，如圆是曲边形，它的内接正多边形是直边行，二者有着本质的区别，但这个区别又不是绝对的，在一定条件下，圆的内接多边形能够转化为该圆周，这个条件就是“当圆内接正多边形的边数无限增加时”， 即注意“无限”二字，因此在无限的过程中直边行转化曲边形，即在无限的过程中，由曲边形的周长数列得到了该圆的曲边周长，这就是极限的思想和方法在定义圆周长上的应用.《高等数学》就是以极限概念为基础，极限的理论为主要工具来研究函数的一门学科.初等数学和高等数学有着本质的区别也体现在数学方法的改变，而这种改变也就是引入了极限的思想，把原本“静止”的东西转化为“运动”的知识，这样思考问题解决问题的方法没有变，但数学的思想方法已经变化了.

10.导数的思想方法

导数是微积分学的核心概念之一，是一种重要的数学思想方法，把它运用于求变速运动的瞬时速度及求曲线上某一点处的切线得斜率，两类问题都可以归结为变量变化的快慢程度.牛顿和莱布尼兹分别从两个问题出发，给出了导数的概念以及用导数的运算处理函数性质的一般性，把运算引用于导数，可使我们扩展知识，感悟数学，而且这些方法是全面研究微积分的重要方法和理论工具，它应用于生活的各个领域.

11.数形结合的思想方法

著名数学家拉格朗日指出：“只要代数和几何分道扬镳，他们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善.”数和形作为数学的两个基本对象，是现实世界的数量与空间形式的反映，在解析几何学中二者达到了有机的统一.这种统一曾为微积分、近世代数、泛函分析等学科提供了必要的工具.在《高等数学》中，要有意识地赋抽象概念以直观的“形态”与现实背景，注重形象思维的训练，强调数的本质与形的直观相结合，对有明显几何意义的概念，一定要结合图形讲解，使学生易接受，记忆深刻，灵活自如的运用，如在讲解函数极值时，要引导学生想象平面的曲线，三维空间曲面上的点，利用多媒体技术将数学语言、符号、图形、动画及视频有机结合，增强学生的直观性，生动性和创造性.

12.对称性的思想方法

《高等数学》以它简洁的思维、严谨的论述以及符号化的技能技巧、形式的对称等给人以美学的感受，其中的“对称”在几何图形中，有点的对称，线的对称以及面对称等，规则的球面，则即是关于点的对称，又是关于线的对称，还关于面的对称，所以，它显得更美，点、线、面的这种几何对称性，给我们以美的感受，更重要的是这种几何对称性体现在函数中的“变量”的某种对称，对论证以及计算将带来更大的方便，利用奇偶性作图，函数的奇偶性与区域对称性来计算各种积分，利用函数的对称性来求导数，《高等数学》中的另一种形式的对称.运算符号的对称性与运算法则的对称性，这种形式的对称，不仅带来了计算的方便，且给人以思维的启迪，使我们产生联想，促进我们创造性思维的发展.

13.算法化的思想方法

算法化的思想是指把同类问题的解决方法整理成可机械化操作的有序解题步骤，对于高等师范生渗透算法化的思想有很重要的意义，算法化的思想广泛应用于现实世界中的各个方面，提高了人们的生活质量以及各个行业的生产效率.其次算法化的思想解题方法要求操作者严格执行每一个步骤，最终得到答案，训练了学生的一丝不苟的认真精神.

三、结束语

高师院校的数学教育教学的过程中要加强对学生数学思想方法的渗透，不仅有利于激发学生的数学知识的探索，学习，追求的兴趣，也有利于提高学生的数学思维品质，学习能力，分析能力与创新能力的综合素质，且对提高学生的就业竞争力，也为日后的终身学习做长远的发展夯实基础.

【参考文献】

[1]王庆.重视数学思想方法教学提高数学课程教学质量[J].高等数学研究，2008（1）：66-67.

[2]解恩译，徐本顺.数学思想方法[M].济南：山东教育出版社，1989.

[3]米山国藏.数学的精神，思想和方法[M].毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986.