浅谈高考数学中由递推数列求通项公式常见题型

李辉

数列在高考数学中是常考题型，而由递推公式求数列的通项公式尤为常见，现将最近几年高考数学中由递推公式求数列通项公式的题型总结如下：

类型一：已知 ， 型。

解题方法：累加法。

例：已知数列 中， ， ，

解：已知

累加得：

类型二：已知 ， 型。

解题方法：累乘法。

例：已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式。

解：已知

累乘得：

类型三：已知 ，求 型。

解题方法：

例：（2015年全国 卷） 为数列 的前 项和，已知 ， 。

（1） 求 的通项公式。

（2） 设 ，求数列 的前 项和。

解：（1）、已知 ①

，得

当 时 ②

由①—②得：

即

是以首项为3，公差为2的等差数列。

（2）、（略）。

类型四：已知 ， 型（其中 、 均为常数）。

解题方法：构造形如 的等比数列，其中

例：（2014全国Ⅱ卷）已知数列 满足 ，

（1） 证明： 是等比数列，并求 的通项公式。

（2） 证明： 。

证明：（1）、已知

又

是以首项为 ，公比为3的等比数列。

（2）、（略）。

类型五：已知 ， 型。

解题方法：构造形如 的等比数列。

例：在数列 中， ， 求数列 的通项公式。

解：已知

又

是以首项为 ，公比为2的等比数列。

当然，已知数列的递推公式求数列的通项公式的类型还有多种，采用的解题方法也各有不同，在此就只针对近几年高考题型中常见的类型作出总结，其余类型就不再一一列举。