简析三角函数模型的简单应用

陈堂桂

【摘要】在学生们学习了三角函数图像和性质的前提下再来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力.

【关键词】三角函数模型；简单应用

在学习三角函数图像之后，都比较熟悉地掌握了作y=Αsin（ωx+φ）图像的两种方法（①用“五点法作图”②用“变化法”作图（先平移后伸缩或是先伸缩后平移）），三角函数最明显的特点就是周期性，用三角函数模型解决的实际问题也必然是具有周期性变化的规律的，教师如何引导学生更好地学习并深入了解此类三角函数应用到现实世界中，用三角函数解决实际问题.

一、教师要制定相应的目标

1.基础知识目标：①通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图像求解析式的方法；②根据解析式作出图像并研究性质；③体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；④体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

2.能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.

3.个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的精神.

二、要点的诠释

可以牢记应用题的基本步骤可分为四步：

1.审题：解题的基础就是审题，包括阅读理解、翻译、挖掘等等，通过相应的阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含的条件.

2.建模：在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将试题中的非数学语言统统转化为数学语言，然后根据题意，列出数量的关系——建立三角函数模型.这时候一定要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成纯数学问题.

3.解模：运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决.

4.还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判.

三、典例精析

（题型一）日常生活中的应用

例 一半径为3 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上P点从水中浮现时开始计算时间.

（1）求P点相对水面的高度z（m）与时间（t）之间的函数关系式；

（2）P点第一次到达最高点大约要多长时间？

解 （1）不妨设水轮沿逆时针方向旋转，如图，建立平面直角坐标系，设角φ（-π2<φ<0）是以Οx为始边，ΟΡ为终边的角，易知ΟΡ在t秒内所转过的角为（4×2π60）t=2π15t，故角2π15t+φ是以Οx为始边，ΟΡ为终边的角，故Ρ点纵坐标为3sin2π15t+φ，则z=3sin2π15t+φ+2，又当t=0时，z=0，可得sinφ=-23，又-π2<φ<0，故φ≈-0.73.故所求函数关系式为z=3sin2π15t-0.73+2.

（2）令z=3sin2π15t-0.73+2=5，得

sin2π15t-0.73=1，

取2π15t-0.73=π2，解得t=5.5.

故Ρ点第一次到达最高点大约需要5.5秒.

（题型二）三角函数在物理上的应用

例 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是：s=6sin2πt+π6.

回答以下问题：

（1）小球开始摆动（即t=0），离开平衡位置多少厘米？

（2）小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？

（3）小球来回摆动一次需要多少时间？

解 可以先求周期：T=2π2π=1（s）.列表：

使问题得到解答：

（1）小球开始摆动时（t=0），离开平衡位置为3 cm.

（2）小球摆动时离开平衡位置最大距离是6 cm、（即振幅）

（3）小球来回摆动一次需要1 s.

在教学中，应用数学知识解决实际问题，应注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解题.不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”，让学生多参与，让其自主探究分析问题，培养他们分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力.