简约而不简单

王敏

引言：欣赏、评析一道精妙的好题，是一种感官享受，也是一种思考和研判的过程.

一、背景与立意

1.原题呈现：如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G.

（1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；

（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值.

2.背景与立意：本题外观简约，但内涵丰富，涵盖三角形、函数、四边形等核心内容.考查知识有：直角三角形、全等三角形、相似三角形、中垂线性质、勾股定理、函数、面积等.

二、解法与变式

“基本图形”助突破，“动点变化”是关键.

图 11.对于第（1）问，易用“X型全等”的基本图形解题.第（2）问中，对学生而言，解题的关键就是：能够敏锐地观察出点M和点G位置是相关的，并且能够画出相应的图形（如图1），此时要求线段MG的长就是求线段MC的长.

而求线段MC的长，学生自然会想到“数形结合”，建立方程来求.那么通过什么来建立方程呢？两条路：“勾股定理”建立方程，“相似三角形对应边成比例”建立方程.因此，我估计学生的思路至少有两条，一条是直接把线段MC放在Rt△MDC或Rt△MEC中，用勾股定理来求MC，但此时MC肯定是用字母a表示的代数式（如方法1、2）；第二条路是利用相似三角形：K形相似或母子相似（方法3）.此时学生往往做到这里就停步了，没有做到最后结果.如果平时解题有经验，认真审题的话，发现是要求出线段MG的长度，也就是要求出字母a的值.当学生能意识到这点时，求a也不复杂，由“K形相似”，△MAE∽△CDM，建立方程，解出a的值，从而问题获解.

另外，这一问还可以利用直角三角形的面积来建立方程，Rt△MCF中，FC·MD=MC·MF（方法4）.其实，这个知识点在平时教学中也经常提到.所以，第（2）问题目出得很好，可以拓展学生的思维，也检验了我们平时教学的效果.方法1：利用勾股定理，在Rt△MDC中表示出MC=（4-a）2+32.再由△MAE∽△CDM，得DMAE=CDAM，即4-a1=3a，解得a=1或3，代入MC中得MC=32或10.方法2：在Rt△AME和Rt△EBC中，利用“勾股定理”得：EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，得出CM=EC2-EM2=19-a2，方法3：利用“母子相似”，即“射影定理”结论，得MC2=CD·CF，而CF可以通过“X形相似”，△MAE∽△MDF，AMDM=AEDF，先求出FD=a4-a，所以CF=a4-a+3，接下来求a的值同方法1.方法4：利用面积，在Rt△MCF中，由FC·MD=MC·MF可表示出MC=FC·MDMF，而FC，FM可由“X形相似”，△MAE∽△MDF求得.

第（3）问中，点M为射线AD上的一动点，学生在审题时，粗心的同学会将第（2）问中求出的MG的长当作条件去用.第二种错误就是没有分类讨论.当学生弄清题意后，进行正确的分类：点M在点D的左边或右边，并画出相应的图形（如图2、图3）.

图 2 图 3

如图2，由问题“用含a的代数式表示△EFG的面积S”，学生一般有两条思路：一个是面积公式S=12EF·MG，另一个是“拼割法”.结合图形，本题适合用第一种思路.而EF=EM+MF，由第（2）问的做题经验，利用“勾股定理”和“X形相似”，△MAE∽△MDF，可表示出EM=a2+1，MF=4-aaa2+1，所以EF=4aa2+1，接下来，难点在于如何求MG.那就要充分地利用已知条件，AB的长还没有用到，再结合要求MG，肯定要通过方程求解，想到构造相似三角形，添加辅助线：作MN⊥BC，交BC于点N，构造△MNG∽△MAE，得MG=3aa2+1，所以S=6a2+6，此时0

如图3，同理分析，得S=6a2+6，当a>4时，S没有整数值.综上，S有最小整数值为7.

在这一小问中，难点一个是分类思想，一个是函数思想.最后的问题涉及最值问题，无外乎函数性质、非负数性质和整数性质，结合a的取值范围，可获解.

所以这条题目从知识的角度来看很综合，三个问题体现了“特殊到一般，简单到复杂”的数学思维过程，知识有机整合，问题递进探究.从能力的角度来看，对学生有较高的要求，突出了数学的基本思想：化归思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想……

2.变式研究

变式1：条件和结论互换，将第（1）问改为：若GE=GF，求AM的长.变式2：改变结论，将第（2）问改为：求线段FG的长或者求sin∠EFG；将第（3）问改为：讨论S的最小或最大整数值.

三、价值与启示

通过这道题目，对我们今后教学的启示：重视知识与技能目标的达成，重视数学基本思想的渗透；尤其是对于几何教学，重视数学基本图形的掌握，重视数学建模的归纳与提炼.