寻找平行线的四条途径

颜冬生

直线与平面平行的判定定理指出：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.直线与平面平行的判定定理是证明线面平行的依据，是证明面面平行的基础，使用的关键是在平面内要找到一条直线与已知直线平行，下面给出四种常见找平行线的方法.

1.借助三角形中位线找平行线

三角形的中位线平行于第三边，这是产生线线平行的有效途径之一.在平面几何中解决问题有一个常用的思考方法“见中点联想中位线”，在立体几何中同样需这样思考.

2.借助平行四边形找平行线

平行四边形对边平行且相等，从寻找平行四边形的角度思考，也是寻找线线平行的有效途径之一.

3.借助比例线段找平行线

在平面中有比例线段就有平行线，同样在空间立体中比例关系也可转化为线线平行关系，化数量关系为位置关系，这一点也很重要.

图 3例3 已知有公共边AB的两个全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的动点，当P，Q满足什么条件时，PQ∥平面CBE？

分析 由问题“当P，Q满足什么条件时，PQ∥平面CBE？”，而P，Q分别是线段AE，BD上的点，为了回答问题必须指明点在线段的位置，从而考虑线段比例，进而联想有比例线段就有平行线.

即当AP=DQ时，PQ∥平面CBE.

4.借助线面平行性质定理与平行公理找平行线

线面平行性质定理结合平行公理的传递性，也是寻找线线平行的有途径之一.

图 5例4 如图，α∩β=CD，α∩γ=EF，β∩γ=AB，AB∥α.

求证：CD∥EF.

分析 题设中有线面平行，可得线线平行.

证明 ∵AB∥α，α∩β=CD，ABβ，

∴由线面平行性质定理得AB∥CD.

同理：AB∥EF.

∴由平行公理的传递性可知：CD∥EF.