数学期望等式的证明与实际应用

邹莉

【摘要】数学期望是随机变量的数字特征之一，本文通过等式的证明，以及实际问题中的

决策优化，医学上的疾病普查等问题，阐述了数学期望的应用.

【关键词】随机变量；数学期望；等式证明；实际应用

一、有关数学期望等式的证明

例1 试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则Eξ=∑∞k=1pξ≥k.

二、数学期望在实际中的应用

1.在决策优化上的应用

例3 某海港对停泊船只供给净水，初始价是每吨a元，以后再供要加50%的附加费；若用不完造成浪费则每吨加收资源费a4，设某轮船的净水用量是密度函数p（x）的随机变量，为节约其用水总开支，试求其最佳首次供水量y.

解 设某船的初始供水量为y，用水量为ξ，费用为η，则有

2.期望在医学疾病普查中的应用

例4 医疗系统中常遇到大量人群普查某种疾病.假设需要检验N个人的血，如果逐人验血，则共需检验N次，平均每人一次.若把这N个人分成Nk组，每组k人，把这k个人的血混合，首先检验混合血样，平均每人1k次，如果呈阳性，则再逐个血样检验，即共需k+1次，平均每人需k+1k次，某地区群众患某种疾病的概率为0.004，若对该地区5000人进行此疾病普查，问用分组检验方法是否比逐人检查减少检查次数？

解 设将5000人分为5000k组，每组k人，每人所需检验的次数为随机变量X，则X的概率分布：

∴当k=2，3，4…EX即每人平均所需次数小于1.这比逐人检查次数要少，且令EX′=0，

知当k=16时，EX最小，即5000人大致分为每组16人检验.

【参考文献】

[1]李贤平.概率论基础学习指导.北京：高等教育出版社，2011.

[2]周概容.概率与数理统计.北京：高等教育出版社，1984.

[3]魏宗舒.概率论与数理统计.北京：高等教育出版社，1997.

[4]盛骤.概率论与数理统计·第三版.北京：高等教育出版社，2001.

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