例谈辅助线在几何证明题中的灵活运用

杨雪

【摘要】化归思想是一种重要的数学思想方法，运用化归的方法去解决一些数学问题往往能够很好地达到预期的效果.数学中用以实现化归的方法有很多，这里仅介绍一种——添设辅助线.本文通过作辅助线在两个几何证明题中的运用，体现化归思想在解决数学问题时的妙用.

【关键词】化归思想；辅助线；问题解决；证明

化归思想是指将一个新的复杂的疑难问题通过变换、转换等方式变成一个简答的已知的易于解决的问题.化归原则是一种重要的解题原则，也称为转化原则.运用化归思想时，关键在于如何将所要解决的问题转化成已解决或较为容易的问题.下面就两题初中数学的几何证明题为例来论述化归思想的具体运用.

在四边形 ABCD中，对角线AC与BD交于点P，AC=BD.E，F分别是AD，BC的中点，E，F分别交AC，BD于N，M.试说明∠PMN=∠PNM的理由.

分析波利亚提出的怎样解题的四个步骤分别是：第一，你必须理解题目；第二，找出未知量与已知量的关系.若找不到直接联系，也许不得不找辅助题目，最终找到一个解题的方案.第三执行你的方案；第四，检查已经得到的解答.

对于这一题，按照波利亚的解题的四个步骤来分析解决这题.首先，此题题意很容易看懂，已知条件很容易找到，但所要求的和已知条件没有显然的、直接的关系，乍一看不知如何下手.观察题目所给的图，我们发现要求证的两个相等的角是三条没有特别位置关系的直线构成的，如果证三角形PNM为等腰三角形不好证.这时我们就会想到也许我们把要求证相等的角转化成与他们分别相等的角，我们只要证转化后的两个角相等，那么问题也就解决了.题目的已知条件AC=BD，再看图，AC和BD是相交的，那么我们就会想到如果能把AC、BD放在一个三角形中，正好构成一个等腰三角形，也就得到两个相等的角，或许与要求证的角有关系.想到这，我们自然会想到需要做辅助线，那么由点B作BI∥AC，且使BI=AC，连接DI，则可得等腰三角形BDI，这时也会顺势延长EF交BI于H，如图2.通过进一步分析发现，若要解决问题需要证∠PMN=∠BDI，∠PNM=∠BID，进而需证EH∥DI，然而我们发现是证不出EH∥DI.同时，题目所给的E、F分别是AD、BC的中点这个已知条件还没用，而且若按照上述做辅助线的方法，也用不到这个条件的，题目既然给这个条件的，必然是有用的.这样，上述作辅助线的方法被否定.

如何做辅助线来解决问题呢？虽然第一次作的线不正确，但它也给我们启发：为何不直接作EF的平行线，AC的平行线，设它们交于I点.延长AC交DI于J，这时EN就是三角形ADJ的中位线，AN=NJ，如图3.作过平行线后，立即可看出四边形NHIJ是平行四边形，也就有，角∠PNM=∠I，NJ=HI=AN.由EF∥DI，可得∠PMN=∠BDI到此，只要证∠BDI=∠BID，也就是证BD=BI即可，而BD=AC，所以若能证AC=BI，问题即可被解决.刚才已经知道AP=HI，若NC=BH，就有AC=BI.NC、BH是不是相等关系呢？注意到F为中点，这个条件还没用.要证明两条线段相等，可将这两条线段分别放在两个三角形中，再证明这两个三角形相等即可.按照这个思路，我们发现在三角形CFN，BFH中有，∠CNF=∠BHF，∠NFC=∠HFB，CF=BF，所以三角形CFN，BFH全等，BH=NC.从而AC=BI，问题解决.

上述作辅助线的方法不容易想到，既要作两条平行线，又要延长条线段，用到的有平行四边形、三角形的中位线、全等三角形等知识.这需要学生对这些知识牢固掌握，有宏观的把握，而且会灵活运用.若把这题目给初中刚学四边形的学生做，能想到这种方法是不容易的.此题，其实有种更适合初学者的方法.

再从另一个角度来分析这一题.当然还是要将所解决的问题转化简单的问题.题目已知条件，E、F分别是AD，BC的中点，一般情况下，在几何题中看到中点，就要考虑三角形的中位线，由中位线就得到平行线，进而可以有角相等，或许就能将∠PNM，∠PMN转化另外两个相等图4的角.再看已知条件，AC=DB，若AC、DB是两个三角形的一条中位线所对的第三边，那么这两条中位线就相等.观察图形若取AB得中点G，连接EG，FG，如图4.则EG，FG分别是三角形ABD，ABC的中位线，容易知角∠GEF=∠PMN，∠GFE=∠PNM.因为AC=BD，所以EG=FG，∠GEF=∠GFE.由上可得∠PNM=∠PMN，问题解决.

两种方法相比，第一种作辅助线较多，主要用到的有全等三角形、平行四边形、中位线等的有关知识，达到证明的目的走的路较长.第二种方法的辅助线作过后，主要用到三角形中位线的知识.相比之下，后一种方法的证明更直观、简便些.

在等腰三角形ABC两腰AB，AC分别取两点E，F.使AE=CF.已知BC=2，求证EF≥1.

分析此题要证EF≥1，已知条件为E，F是三角形ABC两腰上的点.考虑到特殊情况，当E，F分别是AB，AC的中点时，有EF=1.接下来如何证EF>1？题目已知条件只有BC=2这个数据，由此我们猜想EF与BC可能有某种数量关系.观察图形，我们需要通过辅助手段——辅助线，使得EF，BC是一个规则图形的两个边，这样更容易得知它们的长度关系.过点E作EG∥BC且使EG=BC，连接GC，可得到平行四边形BCGE，BE=CG，如图6.题目还有AE=CF这个已知条件，显然BE=AF=CG.因为BA∥CG，所以∠EAF=∠FCG.那么连接F，G，有三角形AEF，CFG全等，FE=FG.在三角形EFG中，2EF>EG=BC=2，EF>1，问题解决.

上述证明EF>1的实质是将BC向上平移从而和EF在一个三角形中，那么将EF向下平移和BC在同一三角形中，能否解决问题呢？过点C作CG∥FE，连接B，G，如图7.和第一种方法证明类似，可证得GBC是等腰三角形，从而2GC=2EF>BC=2，EF>1，问题解决.

以上两种方法都是通过作辅助线平移BC或EF找到BC，EF的关系.此题还有一种通过作辅助线平移中位线的方法证明EF>1.

图8取AB，AC的中点M，N，连接M，N，MN=1，EF>1，即EF>MN.如图8，过点E作EG∥MN且使EG=MN，连接GN，就有平行四边形EGNM，再连接GF，若能证明三角形EFG直角三角形，即有EF>1.下证之，因为三角形ABC是等腰的，所以∠NHG=∠AHE=∠AEH=∠EMN=∠NGH，有等腰三角形NGH，NG=NH.因为AM=CN，AE=CF，所以ME=NF=NG=NH，故三角形HGF是直角三角形，且∠HGF=900，有直角三角形EFG，EF>EG=MN=1，问题解决.

证明例2的三种方法的基本思想都是化归思想，通过平移将要解决的问题转化成熟悉的、易解决的问题.前两种方法类似，第三种方法相对来说不容易想到，而且稍微复杂些，不过也是比较巧妙的证法.

化归思想的核心是我们不应以静止的眼光，而应以可变的观点去看待问题，即应善于对所要解决的问题进行变形.以上两个几何问题充分体现了这一核心.这里应注意几点：

第一，所说的变形并不是一种无目的的活动，因此，在实践过程中，我们就应该始终“盯住目标”，即应当始终考虑这个问题：怎样才能达到解决原来问题的目的？如，怎样才能证明问题中的结论？

第二，因为只有通过反复的实践，才能找到正确的化归方向与方法，因此，在解题过程中我们应保持一定的灵活性.

第三，由于解决问题的途径常常不是唯一的，因此，我们还应考虑如何才能更快、更有效的解决问题，即注意在可能的途径之间进行选择.例1的方法二和例2中的方法一、方法二就能够较快，较有效的解决问题，而且不复杂.另外的两种方法虽说麻烦些，但也能够体现出对知识的灵活运用，对解决问题的整体把握较强，而且有助于逻辑思维的训练.

【参考文献】

[1]G波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007年.

[2]郑毓信.数学方法论入门[M].浙江：浙江教育出版社，2011年.