创建新的数学理论

冯道才

【摘要】安提丰（Antiphon 480-403BC）“穷竭法”已有两千多年的历史，对数学的发展与贡献，已是丰功伟绩，功成名就；受历史条件的限制，在数学高度发展的今天来看，显现出缺陷，穷竭法已完成在数学发展过程中作出的重大的贡献，但已走到了尽头.开辟新的微分“穷竭法”势在必行.

【关键词】穷竭法；微分穷竭法；三等分角

一、安提丰发明的“穷竭法”

1.安提丰穷竭法，尺规等分，是分1得2，分2得4，分4得8，…，是以2的倍数穷竭.是算术等分，不会产生增量.从分2得4看出，它跳过了不能作3的等分；从分4得8看出，它跳过了不能作5、6、7的等分，……，从作图看出，对角、弧、圆只能作2或2的倍数的等分，即偶数的部分等分，产生的原因，是初等数学的穷竭法，不存在增量.

2.从侧面看“穷竭法”，它直接的告诉我们，尺规不能作奇数等分，更不能作质数等分，世界大难题三等分角，是显著的代表.然而它自身确又隐藏着很多玄妙的数学理论，待人们去开发，学术难题正在等待着它.

二、创建“微分穷竭法”

（图1）微分“穷竭法”，是尺规数字化等分弧的作图.

1.分原函数AT0B弧1等分，即作AT0B弧的切线BDn，是已知角∠ABC的角平分线，与AB的垂直平分线MN交于T，以A，T，B三点定圆得增量函数ATB弧2等分.

2.过A点，作原函数ATB弧的切线AT2与角平分线BDn交于D，以A，D，B三点定圆得增量函数ADT1B.2等分ATB弧，得ADT1B弧3等分.

3.作图同2，分原函数ADT1B弧3等分，得增量函数AD1T2B弧4等分.

4.作图同2，分原函数AD1T2B弧4等分，得增量函数AD2PT3B弧5等分的.

5.…….作图是有“增量”的几何等分.

三、微分穷竭法与三等分角

微分穷竭法是尺规“数字化”新功能的体现，有诗为证：

把诗意翻过来（如图）

【一角三分本等闲，尺规限制设难关.一角三分休等闲，尺规数字化夺关.几何顽石横千载，代数神威越九天.几何顽石被粉碎，伽罗瓦证已逆转.

步步登攀皆是二，层层寻觅杳无三.分2得3穷竭法，4分割线截取3.黄泉碧落求真諦，加减乘除谈笑间】.君问分3是谁证，加减乘除x= 3.

可以看出，微分穷竭法：是已知角、弧、圆的原函数与算术等分的第一步，穷竭法本能地产生增量，把原函数升级为增量函数，…….微分穷竭法：是尺规“公法”的功能，升级为数字化尺规作图，“等分圆、弧、角的数字化，与二次方程x的解已接上了轨，二次方程x的解的数字，都是等分角、弧、圆作图的有效数字.”

所以x=3，就是三等分角作图的算术等分数.

得：2、3、4 是三等分角的作图数组.

作出三等分角.

越九天.

1.公元前400年前后，三等分角问事，作为“问题”而搁浅.

以“穷竭法”的发明人安提丰（Antighon，约公元前480），为代表，他研究“化圆为方”，发明穷竭法，即分1得2，是尺规二等分角作图；分2得4，…，是尺规四等分角作图，尺规都能作出，他跳过了分2得3，即三等分角作图.二、四等分角都作图了，难道说安提丰不会“顺便”研究，或用尺规去作一作三等分角吗？不但如此，可以说在当时研究三等分角的人群中，安提丰花时要算最多的一个，发明穷竭法是最好的说明.安提丰和所有研究三等分角的人群，在数学发展的初级阶段，研究得的结果是：任意角能三等分吧，又作不出来，不能三等分，又无充分的根据，可以说是一无所获，所以柏拉图把三等分角列为三大“问题”之一，已有两千多年.

2.21世纪开元，解决尺规不能三等分角的问题.

①发明：尺规数字化作图的功能；微分穷竭法；子母弧等分定理（升级为增量定理）；角等分微分割线定理与逆定理；建立：增量割线，角等分割线；这些方法与定理，都是源于数学理论：几何等分一个几何量，会丢失一个平均数，要用增量找回丢失了的平均数，才能进行几何等分（微分）；与相匹配的植树问题结合，使这一理论更加充实与完善（1）.

②从古到今，牛顿与莱布尼茨除外，所有作三等分角的人，是主观失误，用一个角来分，死也分不出来，最终作了“尺规不能三等分角”错误的判断.尺规要三等分角，要分三个角才能分得出，已知角是明显的，有两个“角”是隐藏着的，要自己去找，找到“角”还不接待，派了两个全权代表角的“弧”来，加上已知角的弧，得三个弧（函数群）来共同作三等分，还要加上①的那些筐筐套套，尺规才能把已知角三等分，大家才恍然大悟，名副其实的大难题.从此三等分角的“问题”解出.成为清白而名正言顺的“尺规作图微分三等分角”.