研究生入学考试中函数极限问题的解法

刘海峰　刘明华

【摘要】 就近年全国硕士研究生入学考试数学试题中出现的有关函数极限的问题进行分析，总结出解决此类问题常用的技巧，期望能对准备考研的学生有所帮助.

【关键词】函数极限；洛必达法则；等价无穷小

极限是高等数学的一个重要概念，极限理论是现代微积分理论的基石.是否深刻理解极限概念是判断理工科大学生对高等数学掌握程度的一个重要指标.正因如此，研究生入学考试数学试题几乎每年必有函数极限的题目，而且考查内容非常全面，考查形式多种多样.考生要想做对比较综合的研究生考试题目，既需要对涉及的微积分学概念有深刻的理解，又需要具备灵活运用知识解决实际问题的能力.纵观历年试题，会发现极限题目大多可以用洛必达法则结合等价无穷小替换来解决.

一、预备知识

给出等价无穷小的定义及相关定理，详见参考文献[1].

定义1设变量α和α′均为某变量变化过程中的无穷小，若在该变化过程中limαα′=1，则称α和α′为该变化过程的等价无穷小，记为α～α′.

定理1设在某变量的变化过程中，β～β′.若极限limα′β′存在，则极限limαβ也存在，并且limαβ=limα′β′.

定理2设函数f（x），g（x）都是当x→a时的无穷小，f′（x），g′（x）都存在且g′（x）≠0，如果极限limx→af′（x）g′（x）存在（或为无穷大），那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）.

定理1说明，在计算分式的极限时，可以将分子和分母用与之等价的无穷小替换，极限的存在性及其值不变.因为等价无穷小是一种等价关系，所以，只将分式的分子或分母之一用等价无穷小替换，以及将分子或分母的某个因式用与之等价的无穷小替换，整个分式极限的存在性和极限值均不会发生改变.定理2即洛必达法则.虽然这两个定理形式上均是计算分式的极限，但定理2仅适用于计算函数极限，而定理1同时适用于函数极限和数列极限.二者皆是研究生入学考试的考点[2].下面通过实例说明综合应用这两个定理解决问题的方法和步骤.

说明虽然文献[4]已经对变上限积分的等价无穷小替换做了总结，但考生未必熟悉，且那里总结[4]中的例子并非囊括了一切情形，所以考生须掌握分析此类问题的方法，方能在考试中随机应变.此例中利用函数Taylor展式做等价无穷小替换也是研究生入学考试数学的重要考点.当式子含有反三角函数时，还可以通过变量替换将其化为含三角函数的分式，从而避免计算反三角函数的Taylor展式，如2013数学一No.1.

三、总结

根据上面题目的分析及解答，总结得出下面的解答技巧：首先判断极限类型.根据实际情况，如不是分式形式的极限则通过等价变形将其转化为计算“00”型不定式极限；然后根据分子和分母的形式，选择合适的等价无穷小替换简化分子或分母.如分式的分子或分母出现和、差的情况，则考虑利用初等函数的Taylor展式；如分子或分母含变上限积分，则考虑先用洛必达法则求导去掉积分，再利用等价无穷小替换；如分式中出现反三角函数，则可以先通过变量替换为三角函数，然后利用上述方法.具体问题可能重复交叉用到上面多个技巧.

鉴于研究生考试题量大，而答题时间有限，考生在下笔之前需先对题目进行多角度观察全方位考量，在脑海里初步形成多种解法，再选择一种相对直观且简洁的解法作答.

【参考文献】

[1]高等数学（第六版）上册，同济大学数学系编[M].2007.4，北京：高等教育出版社： 57-59.

[2]全国硕士研究生招生考试数学考试大纲 [M]，教育部考试中心，2014.8，北京：高等教育出版社.

[3]全国硕士研究生招生考试数学考试分析 [M]，教育部考试中心，2014.8，北京：高等教育出版社.

[4]杨春玲，张传芳.变上限积分的等价无穷小[J].高等数学研究，2004（6）： 43-44.