算法思想在概念教学中的应用

王晓明

【摘要】算法的实质是解决问题的步骤，其核心思想就是运用程序化解决问题，这也是中国古代数学的特色.算法思想指导下的数学程序化训练不仅有利于深化对概念的理解，提高数学应用意识；而且使学生表达清晰思考有条理，培养学生的逻辑思维能力.

关键词算法思想；程序化；逻辑思维能力

算法思想虽然没有明确的定义，但一般认为算法思想就是指把问题的解题步骤或解题过程“程序化”的思想方法，也是通过一系列简单操作解决复杂问题的过程，而且解题的每一个步骤是“明确”的，整个解题过程是“通用”的，甚至是“机械”的.

算法的实质是解决问题的步骤，其核心思想就是运用程序化解决问题，这也是中国古代数学的特色.算法思想指导下的数学程序化训练不仅有利于深化对概念的理解，提高数学应用意识；而且使学生表达清晰思考有条理，培养学生的逻辑思维能力.事实上，在初中我们就涉猎过算法，例如，有理数求和的算法：有理数+有理数=s1符号；s2数值；这里，我们将代数运算总结为算法；再如，解一元一次方程的算法：s1去分母；s2去括号；s3移项；s4合并同类项；s5将系数化为1.这里，我们将求解方程的过程处理成算法.在解题时，训练学生严格按照步骤求解.算法不仅提供了思维过程而且提供了规范的书写格式.

高中数学新课程注重学生算法思想的培养，算法思想是贯穿数学课程的一条主线.B版教材除将“算法初步”集中列为必修内容外，还将算法思想渗透在高中数学课程其他有关内容之中，如教材必修1中的二分法求函数零点的算法，必修4将角度换算为弧度的一个算法等.其实，许多数学概念既表现为一种对象结构，又表现为一种过程操作，如计算求解一个数值、证明一个结果等.利用概念的“过程操作”的性质，使概念的表述程序化、算法化，将概念总结到最佳境界，就能帮助学生更好地运用概念.下面举例说明：

类比有理数求和的算法，同理可得向量减法运算的算法：s1共起点；s2连终点；s3指向被减（结果）.算法最初就是为了科学计算而准备的，所以很多涉及运算的问题，如复数（或向量）求模、三角公式、距离公式、数列求和等本质都是简单的算法.挖掘这些概念的本质，将其算法化，会提高课堂效率，帮助学生深刻理解概念，增强概念的可操作性.

算法是一种通性通法，除了可将代数运算处理成算法，在平面解析几何和空间解析几何的教学中如果注意渗透算法的思想，可以使学生进一步体会解析法的优点——可以程序化、算法化.

例1用定义法求轨迹方程的算法

S1：建立适当的平面直角坐标系.

S2：用M（x，y）表示曲线上任一点.

S3：列出限制条件，即找出等量关系并用坐标表示条件，列出方程.

S4：将方程化为最简形式.

S5：检验.

例2立体几何中向量方法的算法

S1：建立立体图形与空间向量的联系.

S2：用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面.

S3：把立体几何问题转化为向量问题.

S4：进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和空间角等）.

S5：根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

含有的算法性质的内容、体现算法思想的知识点非常普遍.在概念教学中，我们强调学以致用，学习概念想最终目的是应用.而没有实现陈述性概念定义的算法化是学生不能应用概念的主要原因之一.如将导数的定义算法化：

S1：求函数值的变化量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

S2：求平均变化率ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx.

S3：求瞬时变化率 f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx.

通过这种算法化的学习，将概念转化为程序语言，使抽象难懂的导数概念更为直观易于操作.再如，二面角平面角的定义算法化：

S1：判断角的顶点是否在棱上.（看顶点）

S2：判断角的两边是否分别在两个面上.（看两边）

S3：判断角的两边是否与棱垂直.（看垂直）

以上三步是证或做平面角的依据，结合角的要素（顶点和边）及要素的位置我们就可以操作二面角平面角这个概念了，如果能将一些类似的复杂概念表达成算法，立体几何这块硬骨头也就好啃了，学生也不会迷失在概念的多元表征中.

以算法为核心的“机械化”思想，体现了数学的通用化、机械化和程序化思想，具有高度的概括性和精确性，可以化难为易，化繁为简，为各类实际问题的解决提供框架.同时把算法及程序设计作为技能让学生掌握应用以体现如何学数学、用数学的新的学习观，极有利于学生的数学思维能力的提升，特别是知识迁移能力的培养，对学生后续的学习起到重要的指导作用，也有利于学生知识结构的建构，利于学生形成较为完整的知识体系，利于学生数学的长远发展.

基于此，我们研究课程内容应具有算法化的眼光，学会从算法化和算理化的角度解读教学内容，从知识层面和辩证思维出发，高观点低起点地改进和发展概念教学的框架，寻求解读教材的有效途径.