几何画板与高中圆锥曲线教学的整合

吴启霞

【摘要】几何画板是一个“个性化” 面向学科的工具平台，它在创设“问题情景”，反映图形运动变化，探究数学规律、提高学生的学习兴趣、促进课堂的教学效果等诸方面都有着独到的作用，它提供了一个十分理想的让学生积极探索问题的“数学实验”的环境，帮助学生从实际操作中把握数学学科的内在实质，培养学生的观察能力和问题解决能力.本文就运用几何画板更新高中圆锥曲线教学内容的呈现方式、促进教学内容的最优化、开展数学实验等方面进行了一些探讨.

【关键词】圆锥曲线；课堂教学；过程优化

在《圆锥曲线方程》的这一章教学中，曲线的图像、性质都比较抽象，只凭学生想象力是很难理解和掌握这些曲线与方程、图像和性质之间的相互关系.如何让学生根据曲线的定义动手，亲自制作出较为精确的曲线，从而使学生在制作图的过程中，领悟、理解进而真正的建立起完整的圆锥曲线概念，进而理解如双曲线的渐近线、圆锥曲线与开口方向的关系、直线与圆锥曲线位置关系等？ 笔者尝试使用几何画板进行整合教学，利用几何画板精确的画图功能、动画功能，就更新圆锥曲线教学内容的呈现方式、促进圆锥曲线教学的最优化、开展数学实验等方面进行了一些探讨，以引起学生的学习兴趣，帮助学生理解、掌握，提高数学教学的有效性.

一、优化圆锥曲线的几何性质教学过程

1.几何画板在讲解圆锥曲线定义中的应用

几何画板中的作图工具里，可以作出定点、定直线、动点、动直线，可以度量出两定点之间的距离、点到直线的距离及其这些距离的和、差功能，对于椭圆上的点到两定点的距离的和是一个常数它也能够用直观的数量关系表示出来.比如在讲椭圆定义时，可以由“到两定点F1、F2的距离之和为定值的点得轨迹”着手，如图（1），令线段AB的长为“定值”，点M为线段AB上一点，分别以F1、F2为圆心，AM、BM的长为半径作圆，先让学生猜测这两圆的交点的轨迹会是什么图形，等学生各抒己见之后，老师进行演示，学生豁然开朗：“原来是一个椭圆”.这时老师继续拖动点A，试图改变线段AB的长度，学生开始认真的思索，当AB=F1F2时，满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，最后比较容易发现当AB

2.通过圆锥曲线第二定义探究曲线的离心率与开口大小之间的关系

运用几何画板作出如图（2）圆锥曲线的图像，拖动点E，则离心率e的值随之变化，此时图形也相应变化，当01时，图形改变为双曲线，若e越大，双曲线的开口越大.

3.帮助学生理解双曲线的渐近线

新课标人教版圆锥曲线章节对双曲线的渐近线没有给出严格的定义，在黑板上也只能画出粗略的简图表示，学生较难想象更理解不了，在此借助几何画板就可以把双曲线与渐近线之间的特殊关系准确地显示出来，如图（3）所示，拖动点F1或F2双曲线开口会变大或变小，在第一象限内，点P、点Q分别在双曲线与渐近线上，拖动点P，使得点P和点Q同时向右平移，PQ的值越来越接近0，这说明，在第一象限内，双曲线向右上方越来越接近相应的渐近线，但是永远不会相交.同理在左上方、左下方和右下方也都可以用此方法演示.考察过程中灵活的运用几何画板的强大的动画功能，使图形动起来，且自然流畅，对想象能力相对差点的学生帮助很大.

4.探究抛物线的开口大小与p之间的关系

椭圆的圆、扁程度和双曲线的开口大小与其离心率e有着密切的关系，然而抛物线的离心率是不变的.那么抛物线的开口大小跟什么有关呢？通过几何画板的演示、探究，如图（4）以y2=2px（p>0）为例，学生会发现，抛物线的开口随着p的变大而扩大，且抛物线的焦点F也逐渐的向右平移，通径AB的长也随着变长，再通过几何画板强大的计算功能显示，焦点F的坐标与通径长与p的代数关系，从而使学生比较容易理解抛物线的这一性质.

二、几何画板与圆锥曲线整合教学的效果分析

1.创设情境，改善认知环境

创设情境是数学教学的前提条件，建构主义教学理论也是强调学习情境的创设，它可以为学生创设思维情境.用几何画板创设问题情景，可以改善学生的认知环境，促进学生对所学内容的建构.几何画板可以为圆锥曲线学习创设与学习目标直观形象的数学情景.如：在学习椭圆第二定义时，学生会感到很困惑，如果直接用教材中的方式来定义，学生会更加摸不着头脑，他们在学习中会提出如此的问题：第一定义和第二定义是否有本质联系？为什么要用这种方式对椭圆下第二个定义？如此的问题，如果在传统的方式下授课，换来的只有学生的盲目附和，无法将学生的疑惑解除.为此笔者借助几何画板另辟蹊径，通过适当的数学实验，改善认知环境进行整合教学，使学生烟消云散、茅塞顿开，进而大大地增加了学生学习数学的自信心.

2.动态展示教学的内容，使静态图形动起来、抽象的内容形象化

几何画板的动态功能将圆锥曲线的图形动起来，通过平移、缩放、旋转及其翻折等多视角、多方位呈现圆锥曲线的图形，通过数形结合研究对动态的对象进行“追踪”，并且显示对象的“轨迹”问题、直线与圆锥曲线之间的位置关系、通过拖动某个点观察整个圆锥曲线的变化从而研究曲线方程中变量的关系，使抽象的曲线变得具体、形象、生动且易于理解.比如，高三模拟考里的一道题目：讨论方程（5-t）x2+（t-1）y2=（t-1）（5-t）表示的是什么曲线？在讲评试卷时，如果我们只是把它化成标准形式从理论到理论，静态的探究，显然不直观.但是如果我们利用几何画板，把t值“动起来”，可以观察到当t连续变化时，此方程表示的曲线是如何动态的由“横椭圆”变“竖椭圆”逐渐变成双曲线.学生能够直观清晰的看到各种情况的演变，比起老师的讲评更有说服力，从而开阔了学生的思维.

三、反思

长期以来，圆锥曲线一直被认为是高中数学里一个高度抽象的内容，对于具有对称美的标准方程和曲线图像，发现问题、思考问题、解决问题的思维轨迹常常受阻，学生在学习过程中感到抽象而被动，不知如何思考、如何探索？几何画板与圆锥曲线的合理整合教学要求坚持发现和探索原则，教师的教学实施能力是整合的必然要求，笔者认为教师在具体运用几何画板整合教学中要注意以下几点：（1）要对教学内容作精心编排，合理设计几何画板课件，为学生提供探究的线索和阶梯；（2）要注意留给学生充分的思考空间和自由度；（3）几何画板整合教学要讲究质量和效果，且要有新意，进行数学实验教学的内容应对传统课堂教学方法难以达到的或者根本不可能达到的实验教学效果的内容，而不是为了实验教学而进行实验；（4）几何画板为学习更深层次的抽象的数学提供可能，但是它还是无法代替具体的数学活动，从教师的角度看，几何画板与圆锥曲线的整合教学只是对传统教学方式的一种有益的补充，它促进了教师教学思想的更新，使 “讲授知识”的传统模式向以“探索知识”为特色的模式转变，这也正符合现在《新课程标准》所提倡的“三维目标”的和谐统一及其时下提倡的研究性学习对教师的要求.

【参考文献】

[1]缪亮，朱俊杰，李捷.几何画板辅助数学教学[M].北京：清华大学出版社，2004.

[2]姚淑华，李孝诚，几何画板在中学数学教学中应用模式的探讨[J]，电脑知识与技术，2008，30.

[3]刘华，信息技术与数学课程整合[J]，中学数学月刊，2009，09.