浅析高中数学课堂中数形结合思想在函数解题中的运用

唐果敬

【摘要】随着基础教育改革的深入和素质教育的推广，一些新的教育教学理念应运而生，同样为了适应新形势下教育和学习的需要，一些新的学习策略和学习思维也相伴而生。高中数学作为高中阶段学习难度系数较大，知识点较多的学科，对于学生来说确实困难重重，学习效率和学以致用的能力普遍较低。本文中，笔者结合自身的教学经历，探究了一些提升学生解题能力的方法，其中就以数形结合思想在高中数学解题中的应用为例，希望能对高中数学的教育教学发展起到一定的积极影响。

【关键词】新形势 高中数学 数形结合 教学质量 学以致用

新形势下，高中数学的教学目的不是简单的把数学公理、定理和公式等讲授给学生，让学生掌握住这些抽象的理论知识，而是让学生在学习这里知识的同时能够利用它们解决生活中的一些难题，做到活学活用，学以致用。换句话来说，在教学中不仅仅要传授知识，更重要的是让学生掌握住学习的方法，学会学习和学会解答疑难问题，做到“授人以渔，这样才能培养学生的解题能力和解题思维，进而促进学生的全面发展。数形结合思想简言之就是通过给出的已知信息和待求问题，并有效的整合学习的内容，实现数与形之间的信息转化或者找出对应关系，进而简化解题过程，化抽象模糊为具体形象，通常表现为以数助形，以形解数等形式。函数图像在中学数学中占有很大比重，它包括两个层次的要求，一是能准确绘出已知函数的图像或能根据图像得出函数基本性质；二是能够应用函数图像来解决实际问题，一般来说，前者较易掌握，而后者却难度较大。很多问题如果借用函数图像来分析，会有意想不到的效果，特别易于理解。因此作为教师要多引导学生在数学解题中利用函数图像，让学生逐渐形成用函数图像分析问题、解决问题的能力。

一、数形结合在求函数定义域方面的应用

案例：求函数 的定义域.

解析：若要解决该函数的定义域，

则有 ，要解决此类不等式的解集，

需要借助图像，如右图：

由图像可以看出，若要 ，

只需 或 ，再由 ，得出该函数的定义域即为： .

随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图。因此在求函数定义域方面，多见于画数轴选择出取值范围。

二、数形结合在求函数值域方面的应用

案例：求函数 的值域.

解析：看到所求函数为二次函数，由于函数

是非单调的，所以并不能代端点值去求出值域，

因此需要借助图像来观察，如右图：

借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的

该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最

小值是在对称轴处取得，即当 时， 。

从而该函数的值域为： 。

对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。

三、数形结合在函数单调性方面的应用

案例：已知 在 上是减函数，求实数 的取值范围。

解析：函数解析式中含有字母，因此函数在坐标系内的具体位置不能固定，需要画图分析，看何种情况才能满足题干要求：

通过图像分析可知：若要满足函数在给定区间上为单调函数，只能是后两种情况，也就是函数图像的对称轴不能出现在所给区间内，从而解题找到突破口。 所给函数对称轴方程： ，由图像分析可知，需有 ，从而 。该类问题常见于二次函数中，因其单调性与对称轴的位置有关，故通常画图分析更能直观得出题目所需情况，从而快速得出结论。

四、巧用数形结合，解决函数中的疑难问题

高中数学遇到的函数问题较多，随着新课改的推行，函数问题考察的内容更为广泛，考察的形式更为灵活，试题的难度系数越来越大，有些函数问题只从代数领域去分析已经找不到解题的捷径了，众所周知，函数关系与图像是同时存在的，有时候还需要借助几何图形才能化繁为简，找到解题的方法。

案例：方程4x2-2x+k=0的一个根大于-3且小于1，另一个根大于1且小于3，求k的取值范围.

【解题过程】令y=4x2-2x+k，图像如上

解得之-30

∴k的取值范围是-30

新形势下，对于高中数学的学习，其目的不再是对数学定理或者基础知识的掌握，而是数学解题方法、解题思想和和解题能力的培养。其实，在数学教学和学习的过程中，数与形是最基本的概念，也可以说是其双腿，两者是对立统一，相辅相成的，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，可谓是数中必有形，形中必含数。数形结合思想就是从数形两者的关系入手，实现二者对称信息的转化，实现以数助形，以形解数。 总之，要想提升学生的解题能力，就必须要学生树立数形结合思维，让学生换个角度去分析问题和解决问题，这样才能提升解题效率。函数图像还有在其他方面的应用，如求方程的近似解、值域等，利用函数图像解决问题的关键在于是数与形的结合，若要让学生能够灵活应用函数图像解决实际问题，就必须使学生熟练掌握常见初等函数图像及其性质，教师要做到对一些能够利用图像解决的问题进行归纳总结，使学生在解决这类问题时“有规可循”、“有据可依”，以达到用函数图像解题的最佳效果。

【参考文献】

[1]李楠.浅析数形结合思想在高中数学解题中的应用探究[J].数学学习与研究，2013（04）

[2]陈绮雯.浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].新课程，2012（11）