学生存在的问题应该是教学构思的出发点

罗秋佳

一、提出问题

在中考复习课上我们都需要通过一次次的教学，使学生的数学知识得到梳理、系统化. 不仅如此，还要善于发现学生的问题所在，困难所在，针对学生的问题、易错方面来构思教学，切实帮助学生，通过中考复习阶段的教学，提高学生综合知识解决问题的能力. 因此中考复习中教师设计问题要对症下药，符合学生的实际，构思好的问题情景，通过解决这些问题后学生的综合知识解决问题的能力得到很好的锻炼，同时也使学生对这些最为基础的知识有更深刻的认识. 笔者构思了这样一个问题：已知在等腰三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，在此等腰三角形上是否存在既平分面积又平分周长的直线？

这个问题有一定难度，我就采取先给学生一节课的时间去独立练习、思考，然后把学生解答过程进行初步的分析、统计. 全班每一名学生都想到：过等腰三角形的顶点A作底边的垂线，这条直线一定既平分周长又平分面积. 有部分学生是这样来分析的：过点B、C的直线既平分周长又平分面积是不可能的. 那么这样的既平分周长又平分面积的直线如果还有，就仅可能是与一腰和一底相交的直线或与两腰相交的直线. 还有一些学生用方程的思想去找这样的直线. 但是全班没有一名学生完全解答正确. 所以这节课我就准备从对这个问题的分析开始.

二、初步的教学过程

问题1：如果在等腰三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，在此等腰三角形上是否存在既平分面积又平分周长的直线？

首先，从作业中教师可以了解到：学生几乎都考虑到过顶点A作底边BC的垂线，这条直线能够既平分周长又平分面积. 教师在此可以肯定学生对轴对称能灵活运用.

其次，百分之四十的学生考虑到对问题要分析下去，应该分类思考，他们有分类的意识. 他们考虑到：过点B、C的直线如果平分面积就不能平分周长，如果平分周长就不能平分面积，所以过B、C点不存在既平分面积又平分周长的直线. 他们有的考虑：直线过两腰，有的考虑直线过一腰、一底. 教师在此也应该充分肯定这部分学生的思考问题有条理性但是不够全面、彻底.

学生的困难在什么地方呢？仔细分析后发现一些学生会设未知数，并由周长相等来建立等量关系，但是由面积相等来建立等量关系，他们有困难，他们总是考虑要找三角形的高，但他们意识到题目条件里并没有提供高的条件或是没有办法寻找到求高的条件，问题的关键是他们计算面积的方法太单一，思路较为狭窄.

因此教师就启发学生分析如下：

在图1中，设AE = x，BF = y，则 BE = 5 - x，FC = 6 - y，AC = 5.

如果直线EF既平分面积又平分周长，可以建立方程为：

因此这样的能够既平分周长又平分面积的直线有三条. 学生此时非常感叹：代数方法的精确求解非常有用！有趣！

三、在启发反思后，更为深入地探讨

最后，引导学生反思和总结，并提出新的问题.

1. 探究在等腰三角形上是否存在既平分面积又平分周长的直线，在这里可以转化为代数问题，进一步用方程思想来解决它.

2. 求出方程的解并不是已经完成任务，而应该检验求出的根的取值范围是否合理.

3. 对于这个问题的解决，你可以再思考出更为简单、巧妙的方法吗？

4. 从这个问题的解决，你能提出新的问题吗？如果是腰大于底的等腰三角形是否也有且既平分周长又平分面积的三条直线？

注意：（1）对于第3个提问，有学生思考出更为简单的方法：因为该三角形的周长为：5 + 5 + 6 = 16，所以半周长为：8，所以只需设AE = x，AF = 8 - x，BE = 5 - x ，CF = x - 3.

（2）在第三步中，因为与一腰一底相交且既平分周长又平分面积的直线可以看作是等腰三角形的顶角的平分线转动x，那么DF也转动x，即可以设AE = x，推导出：DF = x，进一步可以得出：BF = 3 + x，CF = 3 - x.

教师进一步启发学生思考：当分析到这里时同学们有什么问题吗？问题1的等腰三角形有何特点？即底大于腰. 如果是腰大于底问题又该如何？由此引出下面的问题：

问题2：如果在等腰三角形ABC中，AB = AC = 6，BC = 5，在此等腰三角形中是否存在既平分面积又平分周长的直线？

第一步：学生由于有了问题1的解题经验，学生解决这个问题可能要轻松些. 故对于这个问题的解决可以让学生作为课堂练习来做.

第二步：可以找学习能力中等的学生到黑板上来板演解题过程.

第三步：归纳学生的解答，可以得出也有三条直线既平分面积又平分周长. 但是与问题1的解答稍有不同：一条是顶角的角平分线，另两条是与一腰和一底相交的直线.

在解决了问题1和问题2后，可以启发学生思考，如果是一般的等腰三角形是否还存在既平分面积又平分周长的三条直线？即下面的问题：

问题3：如果在等腰三角形ABC中，AB = AC = a，BC = b，在此等腰三角形中是否存在既平分面积又平分周长的直线？

对于该问题，由于难度较大，可以安排在课外数学兴趣小组中去继续讨论.

第一步：启发学生分类思考，分a > b，a < b 两种情况来考虑.

第二步：教师可以引导学生在数学兴趣小组中讨论a > b这种情况.

所以x1，x2都必须舍去. 故当底大于腰的等腰三角形，即a > b时存在三条既平分面积又平分周长的直线.

当腰大于底时，即a < b的等腰三角形可以布置给学生课后去思考.

最后，笔者的思考：学生带着问题去听课，感觉非常有趣，他们想要知道问题的解答方法和答案，他们听得很认真，喜欢思考. 在学生存在的问题的基础上来设计教学非常适合学生的最近发展区，能有效地提升学生的思维能力和综合解决问题能力. 所以好的问题情境是对学生非常有利的. 什么是好问题情境呢？太难学生会丧失信心，太容易学生会轻视. 所以针对学生的问题来设计问题情境是很有用的，这应该是中考复习中设计问题的出发点. 教师所设计的问题有针对性就会切实提高学生的能力，而且是高效的复习课.