对一道数学中考压轴题的探索

胡明锋

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0103-01

有关二次函数的压轴题，是一道函数与几何的综合题，它具有选拔功能，是数学思想的综合运用题，它考查的知识点多、解题方法多、能力要求高，体现了数与形的巧妙结合。下面对2014年潍坊市数学中考最后一道题进行探索，让我们来感受数学的魅力。

题目：如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

分析：第（1）题由抛物线的对称性易求出点B的坐标是（4，0），基础知识掌握好的学生可以较快把抛物线的解析式正确求出。

第（2）题是面积问题。面积问题是中考的热点问题，一般情况下，可以直接运用图形的面积公式求；对于不规则图形的面积可以利用“割补法”或“平行线法”进行转化。有运动的题目要注意以静求动。考查了方程、数形结合和化归的数学思想。

第（3）题考查了方程和分类讨论的数学思想。可以根据點P的横坐标的取值范围分类，也可以根据点P在点Q的上方或下方分类。

解法一：（1）由抛物线经过点C（0，4），对称轴x=-■=1，

可得点B的坐标是（4，0），c=4 ① ∴ 16a+4b+c=0 ②

又抛物线过点A（-2，0）∴ 4a-2b+c=0，③ 由①②③ 解得：a=-■， b=1 ，c=4.

所以抛物线的解析式是y=-■x2+x+4

（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连接BF、CF、OF.过点F分别作FH⊥x轴于H，FG⊥y轴于G.

设点F的坐标为（t，-■t2+t+4），点M的坐标为（t，-t+4） 其中0∴S四边形ABFC=S△AOC+S△OBF +S△OFC=■OA×OC +■OB×FH +■OC×FC=■×2×4 +■×4×（-■t2+t+4）+■×4×t=4-t2+2t+8+2t= -t2+4t+12.

令-t2+4+12 =17，即t2-4t+5=0，则△=（-4）2-4×5=-4<0，

∴方程t2-4t+5=0无实根。

故不存在满足条件的点F.

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），又过点B（4，0），C（0，4）

所以4k+b=0b=4，解得：k=-1b=4，

所以直线BC的解析式是y=-x+4.

由y=-■x2+x+4=-■（x-1）2+■得D（1，■），

又点E在直线BC上，则点E（1，3）， 于是DE=■-3=■

若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE=PQ

设点P的坐标是（m，-m+4），则点Q的坐标是（m，-■m2+m+4）.

易得 PQ=（-■m2+m+4）-（-m+4）=-■m2+2m

①当0