高中数学解题中向量方法的应用分析

刘爽

向量作为一种行之有效的数学教学工具，能够帮助我们解决代数、几何等学科领域中存在的问题，为数学教学增加了新的研究视角.同时，将向量法应用在数学教学的各类分支中，还可将问题简单化、直接化.所以，在新课改教学背景下，应以不断创新的思路来重新审视高中向量教学.在本文中，重点分析了向量教学法在高中几何、三角函数等方面的应用.

一、高中数学教学中向量法应用过程中的必要性阐述

（一）向量法的应用有助于提高学生理解中学数学与现代数学之间联系的能力

中学数学内容作为现代数学发展的基础，涉及的多为常量数学和变量数学的基本知识，而向量的引入则是进一步完善了中学数学知识结构体系，以交汇点的形式存在，其综合应用可帮助学生构造知识结构网，为中学数学和高等数学过渡奠定基础.

（二）向量法的应用有助于提高学生处理，解决数学问题的能力

向量作为处理数学问题的有效工具，可以降低学生对空间形式的依赖性，规避思维结构误区，缩减数学问题的推理过程.比方，通过使用向量法处理三角形问题及线性问题等.和传统的处理方法相比，能够非常直观、简便的找出解决问题的关键，提高教学效率.

（三）向量法的应用可以提高学生的思维扩散能力

培养学生的思维扩散能力是向量教学内容的一大重点.在教授学生知识处理的过程中，要尽可能的将问题设计成能够通过概括、想象、抽象、分析等方法解决的形式.这种方式能够培养学生的自主性和思维延展性.如，大海中帆船航行过程中产生的位移，可以渗透数学建模的理论知识，通过进行图示训练和相等向量解题法的训练，渗透平移变换思想，让“形”和“数”结合在一起，形成数形桥梁.

二、数学解题中向量解题法的影响因素

（一）数学解题过程当中产生的影响因素

在数学解题过程中，产生的影响因素分为很多种，根据元认知规律的特点，可以将其进行归纳为下面几种：

第一，经验原因.数学解题的经验主要表现为学生个体现存的知识结构体系、解题思路以及问题陈述形式等，其中还涉及学生的个人特点以及该问题产生的情境等原因.

第二，情感原因.情感在学生学习过程中起主导作用，如学生学习的爱好、意志力以及动机等，都会影响学生的解题兴趣.

第三，认知原因.认知原因决定了学生剖析问题、解决问题的能力，涉及的多为智力因素.

（二）影响向量法解题的几点因素

高中教师授课有两种较为明显的倾向，其一，部分教师不敢尝试一些新的教学方法，通常会将一些利用向量很好解决的问题是用传统几何推理的方式来解决；其二，部分教师教学方法笼统，无具体的分类法，不根据实际情况进行方法的选择.另外，向量法在高中命题中所占据的比重也是比较重要的影响因素之一.

三、高中数学解题中向量方式的利用论述

（一）向量法在三角函数解题过程中的使用方式

空间向量的学习有助于激发学生的创造性，发散思维，在数学三角函数解题过程中，空间向量法的使用可以将问题简单化，使解题思路更加明了，进而降低解题难度.比如，证实cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

证明：假设（e1，e2）为平面中的标准正交基，a，b为平面上的单位向量，且a和e1的夹角是α，b与e2的夹角是β，而α>β.向量a在（e1，e2）出的坐標是（cosα，sinβ），向量b在（e1，e2）下的坐标是（cosβ，sinβ），则有a的绝对值等于b的绝对值等于1.

是以，a*b=|a|*|b|cos（α-β）=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.由此我们可以得知，向量法应用于三角函数，可借用几何图形的直观性来完成.

（二）向量法在平面几何解题中的使用方式

一般来讲，向量具有双重性，它既有运算性又具有形的特点，部分几何问题内容比较抽象，而传统的解题方法往往比较复杂，且直观性差，很难帮助学生更好地解决问题，向量法中形和数的转化特性，则能够在很大程度上将问题简单化.

例如向量法在求边问题中的应用，设△ABC的内角，A，B，C对应的边长分别是a，b，c，且有2sinBcosA=sincosC+cosAsinC.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）如果b=2，c=1，D是BC的重点，求AD的长度AD.

解析 （Ⅰ）略，A=π3.

（2）AB2=（AB+AC[]2）2=1[]4（AB2+AC2+2AB+AC）=7[]4，则，|AD|=7[]2，AD=7[]2.

由此可以得知，利用向量对几何元素之间的关系进行详细分析，可将问题进行转化.

（三）向量法在处理不等式问题中的使用方式

合理使用向量法求解不等式问题，通常可以起到事半功倍的效果.在高中阶段，求解不等式主要利用的是向量数量积的性质，|a*b|≤|a|*|b|及其变形公式|a*b2|≤|a|2*|b|2.

例 求证：如果a，b，c，d是实数，那么（a2 +b2）（c2 +d2 ）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc的时候，等号成立.

证明 假设向量m=（a，b），n=（c，d），则|m|=a2+b2，|n|=c2+d2.mn=ac+bd且|m‖n|≥mn，当且仅当n为零向量，则存在实数k，能够使m=kn时，等号成立.

向量法作为解决数学问题的有力工具之一，具有十分重要的现实意义，它突破了传统的图形推理性质，有章可循，极大的提高了学生解题的正确性.但向量法并不适用于所有的数学难题，仍需与其他方法相辅而成.