新课标下高等数学常用构造法在中学数学教学中的体现

李明玥　赵雪

【摘要】用高等数学中常用的构造性思维法解数学题，是较为有效的一种方法，也是一种富有创造性的方法，因为构造法在猜想、抽象、概括、归纳、类比等重要的数学方法中都有体现.新课标下，不少数学题，特别是高考综合题和中学数学竞赛题，都可以用构造性思维方法通过重新组合成一种新的关系来解决.步骤简明，富有新意，能刺激數学爱好者更大的兴趣.基于此，研究构造法在中学数学教学中的应用是很有必要的.

【关键词】构造法； 解题； 数学教学； 构造思维

在新课标下高中数学教学中，教师们需用适当题量，来训练学生思维转换的能力，引导学生，通过对一类问题的性质的分析，同时对其他类型的问题加以研究.构造法是解各类数学题常用而且十分重要的方法之一，它的实质就是通过观察，深入的分析问题的结构特征和内在规律，综合运用数学知识，以已知条件为先导，以相关的知识为辅助，以所求的结论为方向，通过细致的分析，丰富的联想，灵巧的构思，创造性地构造一个与原命题密切相关的“数学模型”，实现未知向已知的转化，从而把原问题转化为比较简单或易于求解的新问题.

一、构造方程（组）

在数学解题中，利用方程的根的概念、求根公式、根判别式、根与系数之间的关系等有关方程的理论，使问题中的隐含关系明朗化，从而简捷迅速地使问题获解.

例1 求证x2+1x2≥2，其中x≠0.

证明： 设a=x2+1x2，

∵x2×1x2=1，∴x2，1x2是方程t2-at+1=0的两个根.

∴Δ=a2-4≥0，即（a+2）（a-2）≥0，

显然a>0，∴a+2>0，a-2≥0，∴a≥20.

即x2+1x2≥2.

特别注意： 此题中，我们可以观察到隐含的关系： x2×1x2=1，结合欲证不等式的左端，不难考虑到构造一元二次方程，利用根的判别式来证明.

二、构造函数

1.可根据其形式特征、目标要求，构造一个或若干个基本函数.通过对这些基本函数的研究分析，达到解决原命题的目的.

例2 求证：（x+y）（y+z）（z+x）+xyz能被x+y+z整除.

分析 构造函数，结合函数的概念、奇偶性、余式定理，解决数的属性、整数的整除性、整式的整除性等问题.

证明： 构造函数 y=（x+y）（y+z）（z+x）+xyz.

当x=-（y+z）时，f[-（y+z）]=

-（y+z）+y

（y+z）z-（y+z）+

[-（y+z）]·y·z=（-z）（y+z）（-y）-yz（y+z）=0.

则函数f（x）含有因式x+y+z，所以f（x）能被x+y+z整除.

三、构造数列

等差数列和等比数列以及它们的前n项的和所成的数列是一些最特殊、最基本的数列.它们的通项公式用演绎法套公式解决.对于其他类型的数列，构造法求通项公式是一种重要的方法，即构造一个与原数列相关的新数列，转化为具有特殊性质的数列.从而找到解题的新方案.

通过观察并有限次的构造性试验； 来推测一般结论，然后用数学归纳法证明.具体我们来看下面例题.

例3 求数列12+22+32+…+n2的通项公式.

解 构造分式12+22+32+…+n21+2+3+…n.

取n=1，2，3，4，5时，其分式的值依次为33，53，73，93，113.

我们通过对这有限的前五项的观察可知： 各个分数的分母都是常数3，分数的分子组成了一个3为首项，以2为公差的等差数列.于是我们可以顺理成章地推测它的第n项是3+n-1×23=2n+13.

所以12+22+32+…+n2=

2n+13×1+2+3+…+n=16nn+12n+1

用数学归纳法可以证明结论的正确，步骤略.

四、构造图形构造图形，则是将抽象、复杂的问题简单化、具体化的最有效途径. 在数学教学过程中，教师应培养学生的构图法解题意识，让学生把握数形结合思想，学会灵活转化.构造平面图形

例4 设f（x）=1+x2，a、b∈R+且a≠b.求证： fa-fb证明： 由题意，fa=1+a2，fb=1+b2构造Rt△ABC如图D为直角边BC上任意一点，设AB=1，DB=b，BC=a，则AD=1+b2，AC=1+a2.

在△ACD中有AC-AD