《微积分》教学中的两点想法

吴爱娟　贾鲁军

【摘要】本文对《微积分》教学中存在的某些问题进行剖析，针对这些问题提出了作者的想法，特别的对无穷级数概念的引入和微积分基本公式——牛顿莱布尼兹公式的证明给出了作者特有的思路.

【关键词】微积分；无穷级数；微积分基本公式；原函数

一、引言

微积分是一门古老的学科，从17世纪至今发展数百年，它在社会生活中的应用比比皆是，正因为它的应用广泛，所以它是大学数学必修课.但是由于学科本身的特点，它的学习对数理基础较薄弱的学生来说就很吃力.每年在我们的微积分教学中都存在同样的问题：学生觉得学习起来很抽象.这就促使我们老师总是想方设法把某些微积分中的某些概念或者定理的证明形象化.为此，我在教学中就有两点体会，分别叙述如下.

二、两点想法

第一，是无穷级数的讲解.在某些情况下，我们能够从一个无穷级数求得一个有限数.无穷级数指的是一个可以无限地写下去的数字组合，如1+12+14+18+…，最后的省略号表示这个算式还将无限地继续下去.

学生到这里就开始感到困惑了.无论我们老师怎样用一些定理（这些定理大部分学生都不记得了）向学生证明，一个无穷尽的算式依然可以通过求和得到一个确定的数值.尽管与很多令人信服的数学证明，但班上的大部分同学却死活不能接受这一结论.无限的东西经过叠加怎么可能得到一个有限的结果呢？

为解决这一抽象理解，我的做法如下，我让一个学生站在离一堵墙正好2米的地方，现在朝墙壁的方向移动12的距离（即1米），继续重复相同的动作（即12米），再移动剩下距离中的12（即14米），不断重复，最终他将十分贴近墙壁，但他永远都不会撞到墙壁，因为理论上你所移动的每一步都只有剩余距离的12，若我们同意用米作为计量单位，那么他所移动的距离就可以表示为

1+12+14+18+…，

但是他所走过的总距离永远都不可能超过2米，也就是一开始他与墙壁的距离.出于计算的目的，他所走路程的总长度可以简单地估算为2米，但数学家会说1+12+14+18+…最终收敛于2.

第二，是牛顿—莱布尼兹定理的证明.

微积分基本公式目前在教材上常见的叙述及证明为：设函数f（x）在区间a，b上连续且有原函数F（x），则∫baf（x）dx=Fb-Fa.

证明 因为f（x）在区间a，b上是连续函数，所以积分上限函数Φ（x）=∫xaftdt可导，且Φ′（x）=f（x）.

又已知f（x）在区间a，b上有原函数F（x），所以F（x）=Φ（x）+C，即

F（x）=∫xaftdt+C.

在上式中取x=a，得C=Fa，

所以，在上式中取x=b，得Fb=∫baf（x）dx+C=∫baf（x）dx+Fa，

故∫baf（x）dx=Fb-Fa.

该公式揭示了微分和积分之间的联系，它的提出是微积分创立的标志.上述证明是目前较流行的证明，是在引入积分上限函数的基础上利用被积函数的连续性进而利用积分上限函数的可导性.而我们将减弱该公式的条件，给出一种基于微分中值定理的证明.具体内容如下：

定理 设函数f（x）在区间a，b上可積且有原函数F（x），则∫baf（x）dx=Fb-Fa.

证明 函数f（x）在区间a，b上可积，意味着把区间a，b任意分成n个小区间x0，x1，…，xn-1，xn，其中a=x0，b=xn，在每个小区间xi-1，xi上任取一点ξi，都有

∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1fξixi-xi-1 1

其中λ=max1≤i≤nxi-xi-1.

特别地，把区间a，bn等分成n小区间x0′，x′1，…，x′n-1，x′n，其中a=x′0，b=x′n.又已知f（x）在区间a，b上有原函数F（x），所以由微分中值定理可得，在每个小区间x′i-1，x′i上都存在一点ξ′i，使得

Fb-Fa=∑ni=1Fx′i-Fx′i-1

=∑ni=1fξ′i·b-an

从而，limn→∞∑ni=1fξ′i·b-an=limn→∞Fb-Fa=Fb-Fa 2

将1，2两个等式结合在一起可得，∫baf（x）dx=Fb-Fa.证毕.

【参考文献】

[1]同济大学数学教研室. 高等数学.北京：高等教育出版社，2007.

[2]赵树嫄.微积分.北京：中国人民大学出版社，2007.