从一则课堂教学案例看探究性教学

陈启海

探究性教学中，学生探究的过程就是创新的过程，在这个过程中，知识与能力的获得主要不是依靠教师的灌输与培养，而是在教师的指导下由学生主动探索，主动思考，亲身体验出来的.

案例 等比数列前n项和

在等比数列前n项和公式探究中，我设计了以下三个层层递进的问题：

（1）求数列1，2，22，23，……的前n项和；

（2）求数列1，q，q2，q3，……的前n项和；

（3）求等比数列a1，a2，a3，……的前n项和.

学生在问题的引导下，通过动手实践，自主探究与合作交流，经过观察、类比、归纳等活动去探究新知：

师：观察数列（1）项与项之间的关系，你能得到什么启发？

生A：设数列（1）前n项和为Sn，则Sn=1+2+22+…+2n①，

2Sn=2+22+23+…2n+1②.

由②-①，得Sn=2n+1-1，（n∈N*）.

师：n=1时，a1成立吗？

生B：A的结论不正确，数列（1）的第n项不是2n ，而是2n-1，即Sn=1+2+22+…2n-1，用同样的方法可得Sn=2n-1，（n∈N*）.

師：你们怎么想到两边同乘以2后可求Sn？

生A：观察这个数列的每一项，后面一项都是前面一项的2倍，乘以2后①②两个等式有n-1项相同，相减可消去得Sn=2n-1.

师：A同学非常善于观察，发现规律，B同学具有敏锐的洞察力，两人合作，今后一定能成大业.

（同学们赞许地笑了）

师：哪名同学总结一下，什么数列可以用这种方法求和，以及求和时应注意哪些问题？

生C：等比数列求和时应注意数列的通项和项数.

师：很好，数列的通项是数列求和的前提条件，下面我们再来探究数列（2）.

生D：数列（2）和（1）类似，是公比为q的等比数列，用同样方法可求Sn=1-qn1-q.

生E：D同学结论在q≠1时成立，若q=1，则是常数列Sn=n，故 Sn=n，q=11-qn1-q，q≠1

同学们都很满意地点了点头，问题得到解决.

师：D同学说数列（2）是以q为公比的等比数列对吗？

生F：q≠0时是等比数列.（生E会心地笑了，也为刚才冒失地回答感到不好意思）

师：请同学们想一下，若数列通项是字母表示的应注意哪些问题？

生G：如果是等比数列，要讨论公比q=1和q≠1的情形，如果不是等比数列，还要考虑字母取0的情形.

师：下面再来探究数列（3）的求和，并请同学上黑板展示求和过程.

生H：设等比数列a1，a2，…，an，……的前n项和为Sn，则Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1（1+q+q2+…+qn-1）.

由数列（2）知：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a11-qn1-q.

师：H同学借助数列（2）的结论得到等比数列的前n项和公式，那完整的推导怎么写？

生I：设等比数列a1，a2，…，an前n项和为Sn，则

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.①

两边乘以q，得qSn=a1q+a1q2+…+a2q3+a1qn-1+a1qn.②

由①-②，得（1-q）Sn=a1-a1·qn.

若q=1，则Sn=na1；若q≠1，则Sn=a1（1-qn）1-q.

故Sn=na1，（q=1），a1（1-qn）1-q，（q≠1）.

师：I同学非常严谨、准确地推导了等比数列的前n项和公式，并对相同的n-1项作了标注，我们给这样求和的方法起个名字叫错位相减法或错位相消法.

师：同学们还有其他推导方法吗？（q≠1情形）

同学们纷纷议论，上课情绪高涨，过了一会儿，有三名同学给出了他们不同的推导方法.（在此不再赘述）

学生在问题的引导下，自主探究，发现新知，这有利于启迪学生的思维，突破教学的重难点.教师要充分利用教材上的“思考”“探究”等素材，引导学生进行相关的教学活动.