一类具有标准发生率的SIRS传染病模型分岔分析*

刘苏雨 蒋贵荣 凌琳

（桂林电子科技大学数学与计算科学学院，桂林 541004）

引言

疾病发生率是刻画传染病模型的主要内容，经典的传染病模型大多是采用双线性发生率［1］和饱和发生率［2］.标准发生率［3］属于非线性发生率，这种发生率可以包括行为变化和群体效应，Anderson和May［4］通过研究证实，对于某些动物来说，标准发生率比双线性发生率更符合实际.

连续动力系统的分岔理论研究已较为丰富，而对于脉冲动力系统的分岔研究很少.蒋贵荣等［5］研究了一类自治脉冲微分方程，得到了由半平凡解分岔出正周期-T解的fold分岔；钱临宁和陆启韶在文［6］中得到了系统的半平凡解到正周期-T解的跨临界分岔行为；文［7］分析了由平凡解分岔出非平凡周期-T解的超临界分岔现象，等等.但是对于由平凡解分岔出正周期-T解的分岔现象大多没有考虑.

垂直传染、脉冲接种［8］和脉冲生育［9］常被用来建立和研究传染病模型.本文同时考虑垂直传染、脉冲接种和脉冲生育，建立一个有标准发生率的传染病模型，利用映射研究该模型正周期解的存在性及该系统的分岔现象.

1 模型描述

设S（t），I（t）和R（t）分别为t时刻的易感者、感染者和移出者的数量，现给出有脉冲生育和接种、垂直传染和标准发生率SIRS的传染病模型：

其中，σ表示自然死亡率且有0＜σ≤1，δ是移出者丧失免疫进入易感者类的比率，γ是感染者的自然恢复率，βSI/N是标准发生率，生育脉冲为ΔN＝（b-cN）N，其中b是最大出生率.染病者的后代均为染病者，易感者和移出者的后代均为易感者.在生育时刻，ΔS＝（b-cN）（S+R），由于垂直传染，ΔI＝（b-cN）I.易感者的接种率为p，即 ΔS＝-pS，ΔR＝pS，其中0＜p＜1.

2 无病周期-T解和平凡解的存在、稳定性

当种群中不存在感染者，即I（t）＝0（t＞0）时，N（t）＝S（t）+R（t），系统（1）变为：

设系统（2）的轨线从（Nk，Rk）出发，在T时刻到达点然后跳到（Nk+1，Rk+1），则有映射

离散映射（3）的不动点为

由G2（N0，R0）可得系统（1）无病周期解为

由于N（t）＝S（t）+I（t）+R（t），由（1）有：

由系统（4）在无病周期-T解处的变分系统对应的特征值为：

因为0＜p＜1，（δ+σ）T＞0，所以｜λ2｜＜1.当｜λ1｜＜1，｜λ3｜＜1时，无病周期-T解渐近稳定.由得｜λ1｜＜1：

假设 β＞γ，由｜λ3｜＜1得：

在本文中总假设下列条件成立，

当 σ∈（σ3，σ1）时，有｜λ3｜＞1；当 σ∈（0，σ2）时，有｜λ1｜＞1；当 σ∈（σ2，σ3）时，有｜λ1｜＞1和｜λ3｜＞1对任意的σ∈（0，1］，总有模大于1的特征值，从而（1）的无病周期-T解是不稳定的.

过G1（N0，R0）＝（0，0）的系统（1）平凡解（0，0，0）处对应变分系统的单值矩阵的乘子是：

当 σ∈（σ1，1］时，｜λ01｜＜1，｜λ02｜＜1，｜λ03｜＜1，从而平凡解稳定；当 σ∈（0，σ1］时，｜λ02｜＞1从而平凡解不稳定.于是我们有下面的结论：

定理2.1假设（5）成立，（1）的平凡解在 σ∈（0，σ1］下是不稳定的，在σ∈（σ1，1］下是稳定的；（1）的无病周期-T解在σ∈（0，1］下是不稳定的.

3 分岔

取μ＝-σ为参数，讨论（1）的周期解的分岔.

3.1 跨临界分岔现象

对于μ1＝-σ1和I（t）＝0．由σ1＝μ+In（1+b）/T得由（3）得

映射（6）的一个中心流形可以表示为：

则限制在中心流形上的映射为：

在点

由文献［10］中的跨临界分岔的判定可知，系统（4）在μ＝μ1＝-σ1处发生跨临界分岔，系统的平凡解在μ＝μ1＝-σ1分岔出周期-T解.由于δ＞0，当 μ∈（μ1，μ1+ε）时，系统没有稳定的无病周期-T解，故此时原系统的平凡解在μ＝μ1＝-σ1分岔出稳定的正周期-T解.

定理3.1系统（1）在 μ＝μ1＝-σ1处发生跨临界分岔，平凡解分岔出正周期-T解，即ε＞0，当μ∈（μ1，μ1+ε）时，系统（1）有稳定的正周期-T解.

3.2 Flip分岔现象

假设系统（4）的周期-T解（N（t），I（t），R（t））从点A0（N0，I0，R0）出发，到达B0（N（t），I（T），R（T）），再跳到A0，有R0＝p（N（T）-I（T））+（1+p）R（T），N0＝（1+b-cN（T））N（T），I0＝（1+b-cN（T））I（T），由N·＝-σN得到N（T）＝N0exp（-σT），于是N0＝（1+b-exp（σT））exp（σT）/c.

现取Poincaré截面S0＝｛（N，I，R）｜I＝I0｝，过初始点Ak（N0+xk，I0，R0+yk）的解为（N1（t），I1（t），R1（t）），其中Ak∈S0.在时刻T解到达Bk＝（N1（T），I1（t），R1（t）），再然后跳到点Ak+1（N0+xk+1，I0，R0+yk+1）.

令x（t）＝N1（t）-N（t），y（t）＝R1（t）-R（t），z（t）＝I1（t）-I（t）.则x（t），y（t），z（t）满足下面的关系：

其中M（t）满足

由（7）得：

从而得到Poincaré映射：

其中：

式（8）的不动点的特征值为：

当时，λ4＝a1（T）＝-1.

定理3.2 系统在μ＝μ3＝-σ3处发生flip分岔.

证明：令＝μ-μ3＝μ+σ3，则（8）可以写成：

可计算出一个限制在中心流形上的映射为：

f：x｜→（2-3expx-在点处有

由文献［11］中定理3.5.1可知：系统在 μ＝μ3＝-σ3处发生flip分岔，从而 ε＞0，当 μ∈（μ3，μ3+ε）时，系统有稳定的正周期-2T解.定理得证.

4 数值模拟

在（1）中，取b＝2.8，T＝2，δ＝0.4，p＝0.2，c＝0.2，β＝0.6，γ＝0.5.则 μ1＝-σ1≈-0.6675，μ2＝-σ2≈-0.0851，μ3＝-σ3≈-0.1182.显然条件（5）成立.以 μ（-σ）为参数，系统（1）的周期解的分岔如图1所示，当 μ∈［-1，-0.6675］时，系统有稳定的平凡解，系统在μ＝μ1＝-σ1处发生跨临界分岔，当μ从μ1左侧变到右侧时，系统出现稳定的正周期-T解，系统在μ＝μ3＝-σ3处发生flip分岔，由正周期-T解分岔出正周期-2T解，很好的验证了定理3.1和定理3.2.图2给出了（1）在μ＝-σ＝-0.4时的正周期-T解.

图1 系统（1）关于μ的分岔图Fig.1 The bifurcation diagram of periodic solutions of system（1）with respect to parameterμ

图2 μ＝-0.4时的系统（1）的解的时间序列图Fig.2 The time-series of S，I and of（1）withμ＝-0.4

5 结论

本文讨论了对所建的系统在β＞γ的情形下，由于参数间的变化使得σ2＜σ3＜σ1下的系统的动力学性质.随着参数μ＝-σ的增加，系统在μ＝μ3＝-σ3处发生跨临界分岔，由平凡解分岔出正周期-T解；在μ＝μ3＝-σ3处发生flip分岔，由正周期-T解分岔出正周期-2T解.

随着σ的变化，系统出现不同的稳定周期解，说明了自然死亡率大小在传染病的控制过程中的作用，为控制传染病的传播提供了一定的理论依据.

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