位形空间中约束力学系统的Lagrange对称性与守恒量*

刘学锋 张斌 方建会

（1.中国石油大学（华东）理学院，青岛 266580）（2.大庆油田工程建设公司安装公司，大庆 163450）

引言

对称性是数学、物理等学科领域内非常重要的法则之一.对称性理论也是近代分析力学研究的主要方向之一，Noether对称性、Lie对称性和Mei对称性一直是对称性理论研究的主要对象.近年来，人们对Noether、Lie和Mei对称性的研究成果丰硕，理论体系已经比较完善，寻求和研究新型对称性是对称性理论发展的要求.Lagrange对称性作为新型对称性的一种，相对于Noether、Lie和Mei对称性，Lagrange对称性理论不够完善.20世纪六七十年代Currie等对不同自由度［9，10］Lagrange函数等价问题的研究是人们对Lagrange对称性的最早探索，上世纪70年代末到90年代，Lutzky等对力学系统的Lagrange函数等价问题做了一系列的研究［11-14］，Hojman将这种Lagrange函数等价关系称为Lagrange对称性［14，15］，Lagrange对称性现已被推广到Hamilton、Birkhoff等系统［15-26］.赵跃宇等人是我国最早研究Lagrange对称性的学者［15］.本文根据力学系统运动微分方程的特点，将广义非完整约束反力，广义反推力等系统可能受到的力看做一合力，然后研究两个系统运动微分方程的Lagrange对称性.以便讨论位形空间中任意两种系统的微分方程满足Lagrange对称性的定义和判据，以及Lagrange对称性导致守恒量的条件和守恒量形式.

1 位形空间中力学系统的统一动力学方程

设某一系统的Lagrange函数为L，系统所受非势力的合力为F，则系统动力学方程为

另一不同于上述系统的Lagrange函数为系统所受非势力合力为则系统动力学方程为

其中fs和分别为系统的广义非势力，广义约束反力等力的广义合力在广义坐标qs方向上的分量，即

2 系统的Lagrange对称性

对于给定系统（1）和（2）的两组动力学函数L，f和定义Lr和分别为

其中

引入

并称之为Lagrange算子，则

定义对于系统（1）和（2），如果由动力学函数L和f确定的

的每一个解都满足由动力学函数确定的

反之亦然，则表明两系统之间具有Lagrange对称性.

由式（10）和（12）得

其中

把（13）式代入（11）式，并考虑到（9）式得

由定义和（15）式得

判据：对于系统（1）和系统（2），如果两组动力学函数和L，f满足方程（15），则两系统之间具有Lagrange对称性.

3 Lagrange对称性导致的守恒量

对于两系统的Lagrange对称性有如下命题：

命题 对于系统（1）和系统（2），如果两组动力学函数L，f和满足条件

则系统的Lagrange对称性可导致守恒量

其中A为以为元素的矩阵，

证明： 将（18）式代入（15）式得

对（19）式求关于的偏导数得

联立（9）式和（11）式得

将（21）式代入（20）式得

对求关于的偏导数

曹志成等[13]采用转底炉直接还原工艺，“转底炉直接还原- 燃气熔分”及“转底炉直接还原- 磨矿磁选”流程处理铜渣均可获得锌品位60.02%的氧化锌粉尘。曹志成等[14]采用转底炉直接还原和磨矿- 磁选工艺流程，所得最佳还原条件为铜渣∶无烟煤∶石灰石∶工业纯碱=100∶21.5∶10∶1，还原温度1 280 ℃，还原时间38 min；在布袋收尘系统所得粉尘中氧化锌含量为74.25%。

即

由（18）式得

求（25）式关于的偏导数得

由（24）和（26）式得

把（27）和（28）式代入（22）式得

即

由式（28）得

将（31）式代入（30）式得

将条件（16），（33）和（34）式代入（32）式，得

因为T和为反对称矩阵，U和为对称矩阵，因此对于任意正整数m有

根据矩阵的特性及矩阵迹的性质得

即

即

可得（17）式，命题 得证.

4 算例

设某系统的Lagrange函数为

系统所受各类广义力合力的分量分别为

试研究系统的Lagrange对称性及其导致的守恒量.

则根据（9）式和（10）式得

假设有另一系统，其性质与系统（40）不同，其Lagrange函数为

其各类广义力合力的分量分别为

则由（10）得分别为

将（45）式代入（46）式和（47）式，得

并且可以得到

易知（45）式和（41）式满足条件（16），故由命题得守恒量

5 小结

本文讨论了位形空间中约束力学系统统一动力学方程的Lagrange对称性理论，给出了位形空间中约束力学系统统一动力学方程的Lagrange对称性判据和导致守恒量的条件以及守恒量形式.本文给出的结论不仅可以研究同类系统的Lagrange对称性，而且可以研究两个不同性质力学微分方程的Lagrange对称性.当系统方程中的fs为非完整约束反力，广义反推力和广义非势力之和时，讨论系统变为变质量非完整系统，即本文结论为文献［25］的结果；当系统方程中的fs为非完整约束反力和广义非势力之和时，则研究系统为非完整系统，本文结论将与文献［17］的结果相符.

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