非均匀缓变折射率平板波导放大器中的畸形波*

宋妮 张伟 杨晓峰 曹东兴

（1.北京工业大学机电学院，北京 100124）（2.中北大学数学系，太原 030051）

引言

畸形波（rogue waves）的研究最早源于海洋动力学，是一种目前尚无法解释和预测的突然出现的大浪.其波高极大，波峰尖瘦，存在时间短，破坏力大，因此也被称为奇异波、怪波、瞬间波、极端风浪等［1-4］.近几十年，越来越多的学者和工程人员开始研究畸形波，并在其它领域中也发现了这一现象，如光学［5-9］、物质波［10］、超流体［11］、等离子体和金融学［12］等.目前，畸形波的动力学特征大多采用非线性薛定谔方程（NLSE）来表征.自20世纪80年代以来，非线性薛定谔方程已经成为非线性科学中一个重要的基本方程，如水动力学、等离子体物理、非线性量子场论、流体力学、非线性光学等.

光孤子作为一种信息载体，在过去几十年里一直是人们研究的热点课题之一.在理想情况下，光孤子在单模光纤中的传输行为可以由非线性薛定谔方程来精确地描述，可以传播无限长的距离而又不会信息失真，具有很高的传输码率.然而，稳定传输是受脉冲能量限制的.而自相似脉冲可以很好地解决传输中脉冲的强度限制问题，它在高功率传播时，脉冲形状不改变，具有抵御光波分裂的能力［13］.最近，考虑到连续光束在缓变折射率平面波导中的传输，Ponomarenko和Afrawal给出了非均匀非线性放大器中的亮暗空间自相似波以及周期自相似波，并进行了具体分析［14］.随后，通过一种变换法，更多形式的精确自相似解也已得出［15］.本文我们将在光波传输方程的基础上研究非均匀缓变折射率平板波导放大器中的畸形波，并进一步讨论畸形波的非线性动力学行为.

1 非均匀缓变折射率平板波导光波传输方程

在一个非均匀缓变折射率平板波导放大器中，考虑连续光波束的传播，其折射率分布为

其中，前两项表示折射率的线性部分，后一项表示波导放大器中的克尔非线性，I代表光强.为了方便，假定n1＞0，表示在低强度极限中，缓变波导作用为线性自散焦棱镜.在此缓变波导中，光束传播的非线性传输方程可以表示为［14］

其中，u为脉冲包络的慢变振幅，g为增益函数，波数k0＝2πn0/λ，λ为光束的波长.

引入归一化变换

其中为横向特征长度为衍射长度.

方程（2）归一化后可写成下面的无量纲形式

其中σ＝±1，式中“±”分别代表波导中的自聚焦或自散焦非线性.

2 相似变换和畸形波解

为了得到方程（4）的畸形波，引入相似变换［16］

这里，UR（X，Z），UI（X，Z）和相位 φ（X，Z）都是X，Z的实函数.将方程（5）代入到方程（4）中，得到如下耦合的偏微分方程

对于实函数UR（X，Z），UI（X，Z）和 φ（X，Z），引入新的变量函数来求解上述方程组

其中，δ是一个常数.

将方程（7）代入方程（6），有

简化方程（8），得到如下方程组

由方程（9a），不妨假设

其中α（Z），β（Z）是关于Z的自由函数.将其代入到方程（9b-9c），得到

其中b，d是任意常数.

若方程（9e-9f）满足以下的约束关系

时，可以简化为

不妨假设σ＝δ＝1，利用文献［17-18］中的方法，得到方程（4）的一阶有理函数形式的畸形波解

其中R1（η，τ）＝1+2η2+4τ2.

结合方程（11b）和（12），可以求得

从而方程（4）的畸形波解可以表示为

3 畸形波的数值模拟分析

在方程（16）中，α（Z）和 β（Z）是两个自由函数.我们可以通过选取这两个函数的不同表达式来描述畸形波的非线性动力学行为.

若 α（Z）为常数，β（Z）为多项式函数.不妨假设 α（Z）＝1，β（Z）＝0.1Z，将其代入到方程（16）中，可以得到如图1所示的单畸形波和其等高线图.从图1（a）中可以观察到畸形波的形状类似于单Dromion形，其最大幅值为2.1.图（b）是图（a）的等高线图，图中的中心表示畸形波的幅值达到最大值时的位置，即Z＝0，X＝0.从图中也可以看出畸形波具有突然出现，接着又消失得无影无踪的特点.

图1 畸形波和等高线图Fig.1 The rogue waves and the contourcolor plots

保持α（Z）不变，依次取β（Z）＝0.1Z2，β（Z）＝0.1Z3，将其代入到方程（16）中，同样可以得到畸形波和其等高线图.通过数值模拟发现畸形波的波形图和图1（a）类似，但其等高线图不同，如图2所示.图2（a）为β（Z）＝0.1Z2时的等高线图，图2（b）为β（Z）＝0.1Z3时的等高线图.图中可以看出，在Z＝0，X＝0时，畸形波的幅值都达到了最大值.

图2 畸形波的等高线图Fig.2 The contour color plots of the rogue waves

若α（Z）和 β（Z）均为三角函数，不妨假设α（Z）＝0.8cos（Z），β（Z）＝cos（Z）.将其代入到方程（16）中，可以得到如图3（a）所示的单畸形波，其最大幅值为11.1643.和图1（a）的畸形波相比，波形图不同，得到的最大幅值也不同.当Z＝0时，图3（b）所示为图3（a）的剖面图.从图中可以观察到，畸形波的幅值在X＝-1.26时达到最大值.和图1（b）相比较，畸形波的幅值达到最大值时的位置发生了变化.由此可以看出，自由函数的选择不仅对畸形波的波形有影响，对其最大幅值也有影响.

图3 畸形波和剖面图Fig.3 The rogue waves and the sectional views

若取 α（Z）＝0.9cos（0.3Z），β（Z）＝0.1Z，将其代入到方程（16）中，可以得到如图4（a）所示的单畸形波.由其等高线图可以观察出，在Z＝0，X＝0时，畸形波的幅值达到了最大值，最大幅值为12.1674；若取 α（Z）＝sec h（0.2Z2），β（Z）＝cos（0.1Z），将其代入到方程（16）中，可以得到如图4（b）所示的单畸形波.由其等高线图可以观察出，在Z＝0，X＝-1时，畸形波的幅值达到了最大值，最大幅值为34.1615.这种情况下，自由函数对畸形波的最大幅值和波形图影响较大.

图4 畸形波图Fig.4 The rogue waves propagation

4 结论

本文以缓变波导中光束传播的非线性传输方程为基础，研究了非均匀缓变折射率平板波导放大器中畸形波的非线性动力学性质.通过相似变换和直接假设，得到了一阶有理函数形式的畸形波解，并且针对不同类型自由函数的表达式，通过数值模拟得到了不同畸形波的波形图.需要注意的是，并非所有的自由函数α（Z）和β（Z）对其进行取值时都存在畸形波.进一步地，可以求得二阶有理函数形式的畸形波解，并对其进行非线性动力学分析.这些结果对研究光纤中的畸形波具有一定的理论意义.

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