几何证明选讲之“圆”的题根研究——从“圆周角定理”说起

☉上海市桃浦中学 张正丽

几何证明选讲之“圆”的题根研究
——从“圆周角定理”说起

☉上海市桃浦中学 张正丽

几何证明选讲在人教版新课标教材中以选修内容出现，其主要内容之一是圆及其相关性质定理的应用，如“相交弦定理”“线割线定理”“割线定理”“弦切角定理”等，高考对此部分内容的考查多以选择或填空及附加题的形式出现，试题难度不大，考查的知识点较为固定，本文以“圆周角定理”为根，就相关定理的推广应用，展开探究.

题根：（圆周角定理）在同一圆上，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍.

证明：略.

说明：由圆周角定理可直接得出结论：同弧所对的圆周角相等，这是圆最基本的性质之一，在此基础上我们可以直接或间接得出圆的其他相关性质定理.

一、相交弦定理

定理1 过圆内一点M引两条弦AB与CD，则MA· MB=MC·MD.

图1

证明：如图1，由同弧所对的圆周角相等，得∠BCM=∠DAM，∠CBM=∠ADM，所以△AMD∽△CMB，所以，即MA·MB=MC·MD.

图2

例1 如图2，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝_________.

解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.

说明：在Rt△BDE中，EF⊥BD，所以Rt△BDE∽ Rt△BEF∽Rt△EDF，所以即得射影定理：DE2=DF·DB，EB2=BF·BD，EF2=DF· FB.

二、弦切角定理

定理2 圆的切线与过切点的弦的夹角（弦切角）等于该切点弦所对的圆周角.

图3

证明：如图3，连接OC，OB，连接BA并延长交直线TC于点P.

因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB.

因为∠TCB=90°-∠OCB，在△OBC中，∠BOC=180°-2∠OCB，所以∠BOC=2∠TCB.

因为∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍），所以∠TCB=∠CAB.

命题得证.

图4

例2 （2014年天津卷）如图4所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE· DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是（ ）.

A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④

解析：如图4所示，因为∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，所以∠4＝∠3，所以BD平分∠CBF，所以△ABF∽△BDF.

故①②④正确.

说明：利用“弦切角”定理，由对应角的相等直接可得两三角形相似，进而得出如下“割线定理”.

三、切割线定理

定理3 过圆外一点M引圆的一条切线MT和任意一条割线MAB，其中T为切点，线段AB为弦，则MA·MB= MT2.

图5

证明：如图5所示，连接TB，TA，由弦切角定理得∠MTA=∠MBT，∠M为公共角，所以△MTA∽△MBT，所以，即MA·MB=MT2.

图6

例3 （2014年新课标全国卷Ⅱ）如图6，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

（1）BE=EC；

（2）AD·DE=2PB2.

证明：（1）连接AB，AC.由题设知PA=PD，故∠PAD=∠PDA.

因为∠PDA=∠DAC+∠DCA，∠PAD=∠BAD+∠PAB，∠DCA=∠PAB，所以∠DAC=∠BAD，从而BE= EC.

（2）由切割线定理得PA2=PB·PC.

因为PA=PD=DC，所以DC=2PB，BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC，所以AD·DE= 2PB2.

说明：在“切割线定理”的基础之上，如果过同一点M再作一条割线，即可得到如下“割线定理”.

四、割线定理

定理4 过圆外一点M引两条直线AB、CD与该圆分别相交于A、B与C、D点，则MA·MB=MC·MD.

例4 如图7，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_________.

图7

解析：设PO与圆O相交于点C，延长PO，交圆O于点D，设圆的半径为r，易知PC=3-r，PD=3+r，由“割线定理”得PA·PB=PC·PD，即1×3=（3-r）（3+r），即r2=6，解得r=

说明：本题的求解也可过点O作AB的垂线OM，由垂径定理知AM=BM，在Rt△PMO中，由勾股定理求得OM的长度，在Rt△AOM中，由勾股定理求得半径r.

图8

例5 （2014年新课标全国卷Ⅰ）如图8，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE.

（1）证明：∠D=∠E；

（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB= MC，证明：△ADE为等边三角形.

证明：（1）由题设知A、B、C、D四点共圆，所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E，故∠D=∠E.

（2）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，故O在直线MN上.

又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A=∠CBE.

又∠CBE=∠E，故∠A=∠E，由（1）知∠D=∠E，所以△ADE为等边三角形.

说明：在割线定理的基础上，由△MAC∽△MDB，可得性质：圆内接四边形的一个外角等于其内对角.

例6 如图9，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠BAD的度数是_________.

解析：连接OB，OC，AC，由题意得∠OCE=∠OBE=90°，∠DCF=∠DAC=32°.

图9

说明：在此性质的基础上，可得出性质：圆的内接四边形对角互补.

综上，本文以圆的一个简单性质得出与圆相关的性质定理，既体现了知识的关联性，梳理重要知识形成体系，有助于学生在整体上把握知识的来龙去脉，进而能够灵活应用其解题，望同学们以此为例拓展到其他知识的学习中.F