数学解题教学需要寻找根源

☉江苏省通州高级中学 朱小莉

数学解题教学需要寻找根源

☉江苏省通州高级中学 朱小莉

数学解题教学的高效和有效是教师教学最核心的教学内容.在新课程理念引入到教学之后，我们常常看到各种层出不穷的全新教学方式、方法，有很多教学模式围绕学生进行了设计和尝试，是非常值得我们学习和探索的，比如，以积极建构为主的数学新知类教学模式、以马登变式理论构建的变式教学复习模式、以APOS理论进行的知识探索类教学模式等，都有较大的借鉴意义.随着新课程理念的不断深入，在高三复习解题教学中，我们对新课程如何更好更妙地实施教学高效性和有效性，在认识方面并不足够.笔者常常出去观摩高三解题教学公开课，发现相当一部分教师仍旧以传统教学中效率最低下的大训练模式在进行复习教学，如笔者近期观摩的数形结合思想公开课：以形辅数两个问题，以数解形两个问题，一堂课就师生共同研究四个问题，并且四个问题之间没什么联系，随意从教辅资料中找四个毫不相关的问题，最后是给出四个训练问题.试问：这样的教学模式从量来说的确不少，但是不相干的知识解答和无联系的知识运用，乃至非常紧张的课堂只会给学生匆匆的感觉，这样的方式比较低下.

因此，笔者认为解题教学的模式需要改一改才能适应新课程理念.因此，以题根为本的根本教学法成为解题教学高效和有效的根源.“根本”教学法就是以数学题根和学生为根本，开展数学教学，把时间还给学生，引导帮助学生去探究，为学生未来发展奠定基础的一种教学方法.笔者以这一模式设计了一堂高三复习课，从教学设计的技术层面上看，突破了“复习知识、综合应用”的常规模式，依托一道高考题，通过“寻根之旅—题由根生—并蒂连理—开枝散叶—枝繁叶茂—追根溯源”在探究与思考中提出问题，在合作与交流中解决问题.其课堂的形式是开放的，学生的思维可以自由驰骋，合作交流可以非常热烈，在交流中师生可以不分彼此，是相互平等的.同时，师生的各自任务又非常明确：教师是课堂的组织者、引导者、合作者和促进者，而学生是问题的提出者、又是解决者.在这样的课堂里，学生收获的不单单是数学知识，更重要的是丰富了经验、增长了智慧.下文是笔者以向量数量积与向量和及差之间的关系为载体来设计的向量教学题根复习课，与大家交流.

一、给出根源，层层递进

美国心理学家布鲁纳指出：“思维起始于问题，教学活动是从提出问题开始，解决问题持续，最终继续提出新问题的循环过程.”在本课设计中，笔者以教材中最基本的向量数量积与向量和及差之间的关系为根源，给出题根.

图1

问题1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

笔者给出B组课后习题作为学生思考问题题根所在.

问题2：在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_________.

这样的情境创设能够激发学生的兴趣，参与到相应的学习活动之中.再以该问题的解决作为背景开展了“寻根之旅”，引导学生抓到题根，以便抓到这个相关的题族、题群、题系.学生由问题1“寻根之旅”提炼形成“向量数量积与向量和及差之间的关系式a·b=（高等数学中称之为极化恒等式）”，通过后续问题的解决，理解、体会、运用“极化恒等式”，整个过程的安排上由浅入深、逐层递进、拾级而上.在师生互动的过程中，新旧知识，通过理论与实践之间的各种冲突与和谐、破坏与创造，实现学生知识的主动构建，并加强学生的思维能力，进而不断突破现有的思维定势，使其充满创新、创造的欲望.选题看似平淡，却内涵丰富，简约而不简单，深刻而不深奥，本节课笔者在选题上做了一番精心的准备，实在且实用.后续笔者自认为题目的安排虽然做到了很好的由浅入深，但稍显平淡，如果顺序讲解做一定的调整应该可以给学生带来更大的思维碰撞及更浓的学习兴趣，进一步探索.

问题3：已知a·b=0，向量c满足（c-a）·（c-b）=0，|ab|=5，|a-c|=3，则a·c的最大值为_________.

此题是近期模拟考试中考生刚经历的一个“痛苦”之作，学生对此题一定记忆犹新，此时如果笔者要求学生再解决一下，相信绝大多数同学还不会处理该题或者已忘了当时笔者的讲解，这充分证明学生还未掌握解决此类“难题”的方法，笔者以一句“那我们一起来开启我们的探险之旅，找到解决此类问题的法宝吧”为开场白，笔者相信一定更能激发学生的学习欲望，唤起共鸣.

以这样的问题提出验证本节课的“寻根之旅”——求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.此证明很好地揭示了本节课的知识方法本质（即向量数量积与向量和及差之间的关系式），也找准了问题2、3的“根源”.问题2相对简单，可以供学生“小试牛刀”，可以做到对新授知识的应用及后续知识的迁移.笔者认为此时很多同学已经迫不及待地想用此种方法去解决问题3，当发现顺利解决后是何等的兴奋！在这样的背景下再由浅入深、逐层递进地安排后面的一些问题，从处理三角形中的雷同题到略有变化的解析几何问题.

让学生训练巩固，体验此类方法的价值，体会数学习题中的变式和迁移.所以，在新课程背景下，合理使用教材和资料，有效选择实在且实用的例题和习题是高三复习的重中之重，而在课堂教学中合理安排例题习题的顺序又是引领学生思维的关键环节.

二、学生为主，定位合理

新课程理念是要求教师教学以学生为主体，以学生自主建构和探索为学习的根本，在新知教学中，笔者认为这一实施是比较容易实现的.但对复习教学、解题教学而言，如何真正实施这一理念呢？学生对于问题的把握是不是脉络清晰？对于知识点的考查方向是否如教师般透过现象直达本质？在复习解题教学大容量的课堂中能否做到高效、有效？笔者认为，找到问题的根源，以根源为主设计问题，将思维发展区都紧紧围绕题根而设，这样的设计定位对于解题教学而言比较高效，学生思考的方向比较明确，对于某些较难知识点的尝试比较独立，这里需要教师的合理引导和设计.

再比如，笔者在解决问题2：在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_________，有学生这么解答：假设△ABC是AB=AC的等腰三角形，则……学生的回答也许出乎了笔者的意料，但笔者没有马上开始自己的方法讲解，只是说“这位同学回答的很好，在客观题中特殊值法不失为一种好方法，那如果三角形不特殊又该如何解决呢？”巧妙地把问题再抛给学生，既做到对学生的肯定，又让学生充满兴趣地进入到思索中，再在笔者的启发下进入到本节课的轨道.

三、合适训练，巩固新知

向量问题一直是高考的热点和难点，在巩固了本内容所学的基本题根a·b=之后，笔者给出下列类似问题供学生训练巩固.

（1）如图2，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则O—→P·B—→P的最小值是_________.

图2

图3

（2）如图3，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，E是△BCD内部任意一点，AE与BD交于点F，则的最小值是_________.

（3）平面向量a，b，e满足|e|=1，a·e=1，b·e=2，|a-b|= 2，则a·b的最小值为_________.

四、积极研究，寻找题根

数学教师需要在不断地研究教育教学规律、不断地创新教学工作方法中保持青春.一位教师如果整天都陷入应付上课、批改、辅导、解题等常规事务的泥潭中，而不能进行有效地思考、总结和研究的话，那他的专业成长一定会走入高原，一般不会有太大的发展.一位教师如果失去了教学青春，变成了一名“教书匠”是可悲的，也是可怕的.

一方面笔者认为，解题教学要以文中所述弄清问题的根源，很多问题其实是同质不同样，用合理的教学设计引领的题根式教学大大提高了解题教学的效率，也容易让学生在这类问题中产生创新的想法和巩固解题根源带来的解题方向性.

另一方面笔者认为，教学必须以研究的方式进行解体教学的专题性指导，只有教师自身有着过硬的知识基本功，以高于平时解题思路与方法的解题去指导学生进行复习解题教学，将问题以根源为本、类似问题为辅的模式进行教学设计，才能体现解题教学的专业性和针对性.好的方法本身对于学生的学习就富有强烈的吸引力，在用一些奇妙的方法解决一类数学问题后，学生也会产生强烈的试试和模仿的冲动，让学生充分享受探索、发现知识的乐趣了.从本节向量复习课而言，笔者并没有按照高三复习教学的一般套路，而是以探索规律方法为线索，通过深入浅出、适度整合、横挖纵拓地展开，使学生在数学知识层面、思想方法层面、学习策略层面都有颇多的收获.从学案的设计上不只是知识点的呈现，不只是概念条目的填空和例题的组合，而是给学生一种引领的作用，让阅读者感到的是一条拾级而上的学习“脉络”.

1.张继红.平面向量教学的新认知［J］.数学教学，2013（4）.

2.赵栋.数学习题设计与创造性思维培养［J］.中学数学月刊，2012（7）.

3.金凤明.庖丁解牛与数学解题［J］.上海中学数学，2008（4）.F