割线斜率和区间中点处切线斜率关系的探究

☉江苏省高邮市第一中学 刘鸿春

割线斜率和区间中点处切线斜率关系的探究

☉江苏省高邮市第一中学 刘鸿春

在近几年的高考和模考中，探究曲线割线的斜率和区间中点处切线斜率的关系的试题时有出现，它们往往作为压轴题来甄别学生的数学能力，主要考查学生综合运用函数、导数、不等式等知识，以及分析问题、解决问题的能力.学生普遍觉得这类问题难度较大，解决它们到底有没有规律可循？这类问题的背景到底是什么？它们是如何由简单到复杂演变的？下面开始我们的探究之旅.

一、背景揭示

我们先从常见的基本函数出发进行探究，然后考虑它们的线性组合.

结论1：若函数f（x）是定义在（a，b）上的可导函数，斜率为k的直线l交f（x）的图像于A、B两点，A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），x1＜x2.

结论2：若函数f（x），g（x），F（x）都是定义在（a，b）上的可导函数，F（x）=λf（x）+μg（x），λ、μ∈R，斜率为k1的直线l1交f（x）的图像于A、B两点，斜率为k2的直线l2交g（x）的图像于C、D两点，斜率为k的直线l交F（x）的图像于M、N两点.A、C、M的横坐标都为x1，B、D、N的横坐标都为x2，x1＜x2，则：

二、试题分析

例1（2011年辽宁高考数学理科）已知函数f（x）=

（2）若方程2xlnx+mx-x3=0在区间］内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；（其中e为自然对数的底数）

（3）如果函数g（x）=（fx）-ax的图像与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：g′（px1+qx2）＜0（其中，g（′x）是g（x）的导函数，正常数p，q满足p+q=1，q＞p）

例3（2012年江苏数学模拟试卷一）已知直线x-y-1=0为曲线f（x）=logax+b在点（1，f（1））处的一条切线.

（1）求a，b的值；

（2）若函数y=（fx）的图像C1与函数g（x）=mx+（n＞0）的图像C2交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，其中x1＜x2，过PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，设C1在点M处的切线的斜率为k1，C2在点N处的切线的斜率为k2，求证：k1＜k2.

例4（2014年南京三模）已知函数f（x）=lnx-mx（m∈R）.

（1）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；

（2）求函数f（x）在区间［1，e］上的最大值；

（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2.

即得x1x2＞e2.

例5（2014年南通二模）设函数（fx）=ex-ax+a（a∈R），其图像与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2.

（1）求a的取值范围；

三、结束语

理解了结论1、结论2，我们不但可以洞悉例1～例5的本质，而且可以很容易编制类似的问题，举一例如下：

例6已知函数f（x）=ex+alnx+（a-1）x，

（1）若a=0，求f（x）的极值.

（2）已知f′（1）-f（1）=1，直线l和f（x）图像的三个交点从左到右依次为A，B，C，这三点的横坐标分别为x1，x2，

1.崔志荣，吴彤.揭示背景，改编考题——记2011年辽宁省高考数学压轴题的本质探究［J］.数学通讯（下），2014（3）.

2.顾卫，朱自梅.会当凌绝顶，一览众山小——从一道高考模拟题的命制背景谈起［J］.数学通讯（下），2015（2）.F