学生对参数的认识、应用困难归因及其突破

☉江苏省六合高级中学 樊必业

学生对参数的认识、应用困难归因及其突破

☉江苏省六合高级中学 樊必业

一、问题提出

在教学和考试中经常会碰上参数的求解和讨论方面的问题，我们发现，学生很“怵”它们，教师讲解、学生练习，题做了不少，但总是难尽人意.查寻资料，阅读期刊，多半是“参数法（参数思想）+例子”的堆砌，鲜有从学生认知心理、知识和方法的内在逻辑联系、思维策略的选择与优化等角度进行剖析，针对这些问题或现象，本文力图从学生的视角找出对参数的认识、应用中的疑难困惑所在，并把它们作为教学改进的依据，给出在具体教学实践中的一些建议，期望通过这些努力能对参数学习有改善和促进作用.

二、学生对参数的认识、应用困难归因

学生对参数认识、应用上的困难原因是多方面的，本文主要从概念、思想和思维三个维度进行分析.

1.概念上的模糊：不清楚参数是什么样的量

概念上的模糊是影响学生对参数的认识、应用困难的第一因素.教材对参数的定义是很晚的，出现在选修4-4“坐标系与参数方程”，是为了研究参数方程而提出的：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.从这一叙述中可以看出，参数是参变数的简称，它的主要特征还是变数，只是相对于变数x，y而处于从属地位；同时我们又必须指出，这里参数的提法是建立在曲线的参数方程这一概念基础下的，更准确地说，参数t是x，y的共同的自变量，x，y都是t的函数，正因为t是x，y的共同的自变量，从而成为沟通变量x，y的桥梁，或者在x，y之间的关系不易直接发现的时候，通过参变量来搭桥.那么，参数仅在这一范畴里出现吗？显然不是，从初中学习代数，从字母代数的思想出现以后，方程的系数、函数的系数经常会遇到字母表示的形式，这在研究方程、函数类型的一般化时是不可避免的，如一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），反比例函数y=（k≠0）的比例系数k，进入高中研究函数就更多了，指数函数y=ax和对数函数y=logax中的底数a，幂函数y=xa的指数a，正弦型函数y=Asin（ωx+φ）中的A，ω，φ等，这些字母系数也是参数，但它们的含义同参数方程中的参数的含义是不一样的，更多的是“常量”、“不变的数”的意义，但同时，它的取值还有“在哪一范围”的不确定因素（有时可以规定），故又有“变”的可能，如反比例函数中的k分为k＞0，k＜0，指对数函数中的a分为0＜a＜1，a＞1等，这里，参数起到了确定函数（或方程）类别属性的作用，影响到函数的性态差异.我们还要特别指出一个特例，即常量函数y=a，这里a不是自变量，从对应说解释“每一个x的值都与数a对应”，这里a是常量，是不变量.

由上述分析，不难看出参数的概念不是“想当然”的那样简单明了，不是那种不讲自明的东西，参数概念具有相对的范畴和前提，它与常量、变量具有交叉的关系，是个相对概念：在参数方程中，参数是变数；作为函数表达式中的字母系数，它具有双重身份，一方面，相对于自变量x和因变量（函数）y它应视为常数，在字母代数的可能性上，又有范围分类的倾向决定函数的类别属性，需考虑它的“变”的一面.所以，学生对参数认识、应用的困难，首先是参数概念自身的“模糊性”带来学生认识上的模糊：不清楚参数是什么性质的量.

2.思想上的盲目：不知道参数是用来干啥的

思想上的盲目是学生认识、应用参数的困难的第二因素.碰到字母问题需要分类讨论，相信每位数学老师不知苦口婆心强调了多少遍，问几个常见问题：你的学生对“伪”二次问题是不是能自觉做到先考查二次系数为0的情形，还是动辄一上来就是判别式、求根公式或韦达定理？正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像由正弦函数变换得来学生是不是总是纠结到底左右平移“|φ|个单位”用换元法解题时是不是经常“忘掉”“新元”范围？用待定系数法时在未具体求解之前能清醒地考虑按参数的个数设计方程的个数吗？现在大家都知道数学思想方法的重要性，也经常将函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等挂在嘴边，学生听得不少了，他也分类讨论，但偏偏“忘”了二次系数为0的情形；讲了平移变换、伸缩变换，很好地运用化归转化思想，就是没弄明白参数A、ω、φ间的分工与合作；换元法是个好东西，却因为没考虑新元（参数）范围而没能得到“好结果”；有几个系数（参数）待定就列几个关于该待定系数（参数）的方程，目标明确的很，可就是有人没弄明白.说来简单，思想方法上的盲目套用、瞎拼乱凑都是因为“不知道参数是用来干啥的”.当然，往深处再想想，也离不开参数“概念上的模糊”：不知是啥怎知咋用？

3.思维上的混乱：把握不好如何用和用好参数

思维上的混乱是学生认识、应用参数的困难的又一原因.主要体现在两类问题的处理上，一是给定限制条件的含参函数求参变量的取值范围问题；二是解析几何参数法求轨迹方程问题.前者的困难一般是很难甚至是找不到原问题的等价命题，需要从必要性或充分性入手，分解、检验、讨论参数的不同情形是否满足原命题，再整合得出原问题的解答，对思维的创新性、深刻性要求极高；对于参数法求轨迹方程问题，思维上的混乱主要是对“引参、用参、消参”的程序不清晰，缺乏对“（含参数的）方程的个数比参数的个数多1个”这一消参的基本指导思想的领悟和引导.参数，顾名思义有参考之数、参照之数的意味，从某种意义上理解为临时性的过渡桥梁工具，讲得“不地道”些，过河是要拆桥的.如果引进的参数比较多，在消参阶段学生一般会“头晕”，甚至会怀疑消参的可行性，从根本上动摇自己的思路选择和判断.

三、教学建议

在以上分析的基础上，我们提出下面三点教学建议.

1.借助具体问题，在常量、变量与参变量的多次比较中认识参数的“双重”身份

参数的概念可以早一点告诉学生，当然应借助具体问题和载体，通过将参数与常量、变量多次比较，反复认识，逐渐提高、完善学生对参数本质理解水平.参数概念的表述可以通俗、直白些，能把握住它在具体情境下侧重的是变量角色（主要是参数方程）还是以常量角色为主（作为函数或方程的系数）就差不多了.其中生长点还是“字母代数”，回顾字母代数、代数式、方程、函数过程，认识和体会字母代数的进步，了解方程中的未知数和函数关系中的自变量与因变量用x，y表示，而系数用字母a，b等表示，既是一种习惯也是一种区分.常量函数y=a是一个特别的例子，可以设置这样的教学活动帮助学生认识和区分参数与常量的联系与区别：（1）在同一直角坐标系下作y=1，y=-1，y=0的图像；（2）作y=a的图像；（3）比较大家作出的图像，分析造成图像差异的原因.对于参数的“变数”身份，参数方程当然是很好的载体，不过太靠后了，建议在“换元法”的学习中提前渗透，如研究正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的单调性、在给定区间上的值域等问题的时候，引入中间变量（参数）t，满足t=ωx+φ，针对学生对新元t范围的忽略、ω正负对单调性的影响，引导学生意识到此时参数t虽然只是辅助元素，起过渡作用，但它也是随x的变化而变化的，它是x的函数.还有一种比较特殊、具有辩证味道的“主元法”，即将变量x与参数身份互换，转换视角，对参数身份认识就真可谓“上了档次”，如例子：对于满足0≤p≤4的所有实数，求使不等式x2+px＞3x+p-2都成立的x的取值范围.

2.在函数和方程的学习中，认识参数是决定函数、方程类别和属性的关键量

参数的学习贯穿于两条主线，一条是函数，另一条是曲线方程，要让学生对“参数是决定函数、方程类别和属性的关键量”有足够准确的认识，并将其作为研究的一个基本视角和重要思维方式.

在函数主线的学习过程中，要引导学生回顾初中学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中的系数参数作用（如对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），学生知道a＞0抛物线开口向上，a＜0抛物线开口向下），必要时教师亲自讲清楚系数参数对函数类型确定、函数图像和性质影响的作用，进而，在高中每学习一类新函数时，除了经历特殊到一般的归纳活动外，还要有意识运用类比方法认识参数对函数类别属性的制约与影响，将其培养成为一种思维习惯.为强化学生对“参数是决定函数、方程类别和属性的关键量”的认识，给出两条具体建议，一是学习每类新函数，在学生描点作图的基础上，充分发挥计算机和计算器强大的作图功能，让学生直观感受参数对函数图像和性质的影响；二是在必修1“3.2函数模型及其应用”的例习题教学中，对例6，相对于教材选指数型函数y=a·bx的做法，可做开放式的模型选取、比较、优化的教学处理，借助计算机或计算器的拟合功能，使获得的函数模型更精确，这样的教学，除了对待定系数法进行了必要的训练，更重要的是使学生通过实践，更深刻、更亲切地感受不同参数对函数图像和性质的影响.

在曲线方程为主线的学习中，也可参照函数主线的学习展开.为强化“参数是决定函数、方程类别和属性的关键量”，这里特别提出以下两个话题供大家进一步思考：一是圆锥曲线的统一定义：“平面上到一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离之比是一个常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时，轨迹是椭圆；当e＞1时，轨迹是双曲线；当e=1时，轨迹是抛物线”.二是曲线系在待定系数法求方程时的简化运算探讨.

3.结合典型案例，熟悉“引参、用参、消参”过程，掌握基本套路，优化思维策略

参数法是处理解析几何轨迹问题、定点定值问题的重要方法，选修4-4“极坐标与参数方程”的开设，虽然不要求在难度和应用上拔高，但起码开拓了研究方法和问题解决的视野，对学力水平高的学生鼓励他们从参数方程视角，在对参数的几何意义有深层次理解的基础上用参数思想处理解析几何中的问题，对简化解析几何运算“老大难”和优化学生思维品质是有帮助的.对一般程度的学生，我们认为，选取参数法求轨迹方程，让学生熟悉“引参、用参、消参”过程，掌握参数法基本套路，对优化学生的思维品质也是很有帮助的.

例题圆O：x2+y2=1与x轴的右交点是A（1，0），过圆O上一动点B作y轴的垂线，垂足为点C.求OB与AC的交点D的轨迹方程.

分析：参数的选择与具体问题的条件有关，一般可依据条件特点作多角度的权衡与选定.此题不难，对训练“引参、用参、消参”还是比较好的.

思路1：以点B的坐标为参，设B（x0，y0），则点C（0，y0），依题意有：

点评：两个参数三个方程，消参是一定能实现的；可以从第二个方程将y0用x，y表示，再代入第一个方程将x0用x，y表示，最后将x0，y0代入第三个方程整理得到（*）式.

一般来说，引参有一定的弹性，但参数的个数、用参数翻译几何条件得到的方程的差异会对后面的消参带来影响，所以建议参数的个数少些为好；消参的依据是“方程的个数比参数的个数多1”，消参必然借助运算，能整体消参是上上之选，代入消参是最基本的.A